Feynman-Parametrisierung

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Feynman-Parametrisierung (auch Methode der Feynman-Parameter) bezeichnet eine mathematische Identität, die vor allem bei der Berechnung von Feynman-Diagrammen mit inneren Schleifen ("Loops") Verwendung findet. In der einfachsten Form lautet diese Formel

$\frac{1}{AB}=\int^1_0 \frac{du}{\left[uA +(1-u)B\right]^2}.$

Mit Hilfe der Delta-Funktion lässt sich dies in eine symmetrische Form schreiben:

$\frac{1}{AB}=\int^1_0 du\int^1_0 dv\frac{\delta(1-u-v)}{\left[uA +vB\right]^2}.$

Verallgemeinerungen

Für mehr als zwei Faktoren gilt

$\frac{1}{A_1\cdots A_n}=(n-1)!\int^1_0 du_1 \cdots \int^1_0 du_n \frac{\delta(u_1+\dots+u_n-1)}{\left[u_1 A_1+\dots +u_n A_n\right]^n}.$

Für Berechnungen im Rahmen der dimensionalen Renormierung ist eine weitere Verallgemeinerung nötig:

$\frac{1}{A_1^{\alpha_1}\cdots A_n^{\alpha_n}}=\frac{\Gamma(\alpha_1+\dots +\alpha_n)}{\Gamma(\alpha_1)\cdots \Gamma(\alpha_n)}\int^1_0 du_1 \int_0^{1-u_1}du_2\cdots \int_0^{1-u_1- \ldots - u_{n-2}} du_{n-1} \frac{u_1^{\alpha_1-1}\cdots u_n^{\alpha_n-1} (1-u_1-\ldots-u_{n-1})^{\alpha_n}}{\left[u_1 A_1+\dots +u_n A_{n-1}+(1-u_1-\ldots-u_{n-1})A_n\right]^{\alpha_1+\dots+\alpha_n}},$

wobei die Exponenten α_i komplexe Zahlen (mit positivem Realteil) sein können. Mit Hilfe der Delta-Funktion kann man dies schreiben als

$\frac{1}{A_1^{\alpha_1}\cdots A_n^{\alpha_n}}=\frac{\Gamma(\alpha_1+\dots +\alpha_n)}{\Gamma(\alpha_1)\cdots \Gamma(\alpha_n)}\int^1_0 du_1 \cdots \int^1_0 du_n \frac{\delta(1 - u_1-\dots-u_n)u_1^{\alpha_1-1}\cdots u_n^{\alpha_n-1}}{\left[u_1 A_1+\dots +u_n A_n\right]^{\alpha_1+\dots+\alpha_n}}.$

Anwendung

Ein Integral mit einem Produkt im Nenner des Integranden kann wie folgt umgeformt werden:

$\int \frac{dp}{A(p)B(p)}=\int dp \int^1_0 \frac{du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^2}=\int^1_0 du \int \frac{dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^2}.$

Typischerweise hängt der Integrand dann nach weiteren Umformungen nur noch quadratisch von der Integrationsvariable ab, was einen Übergang zu (n-dimensionalen) Polarkoordinaten möglich macht.

Literatur

• Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press, 1995.

Weblinks

• Kristjan Kannike: Notes on Feynman Parametrization and the Dirac Delta Function. Abgerufen am 3. Juni 2009.