Indexellipsoid

Das Indexellipsoid, auch Indikatrix oder Fletcher-Ellipsoid ist eine von Lazarus Fletcher eingeführte Größe zur Beschreibung der Lichtbrechung in einem doppelbrechenden Kristall. Zusammen mit dem Fresnel-Ellipsoid (benannt nach Augustin Jean Fresnel) ermöglicht sie eine anschauliche Beschreibung der Ausbreitung von Licht in Materie.

Grundlagen

Konstruktion des ordentlichen (links) und des außerordentlichen (rechts) Strahles nach Huygens. Im linken Fall sind die Wellenflächen Kugeln, im rechten Ellipsen. Die Wellennormalen zeigen in dieselbe Richtung, aber die Bewegungsrichtungen der Wellenfront sind unterschiedlich.

Die Menge aller derjenigen Punkte die, von einem punktförmigen Erregungsort ausgehend, von einer Welle gleichzeitig erreicht werden, bilden die Wellenfläche einer Elementarwelle. Das Verhalten einer ebenen Wellenfront kann durch das huygenssche Prinzip erklärt werden: Von jedem Punkt der Wellenfront geht eine Elementarwelle aus. Die äußere Einhüllende aller Wellenflächen dieser Elementarwellen bilden die beobachtbare Welle.

Im einem optisch isotropen Medium ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in allen Richtungen identisch und die Wellenflächen entsprechen daher Kugelwellen. Auch der Übergang zwischen zwei optisch isotropen Medien, kann mit Hilfe des hygenschen Prinzips beschrieben werden und führt auf das snelliussche Brechungsgesetz.

Wird ein Lichtstrahl auf einen Calcitkristall gerichtet, so treten zwei Lichtstrahlen aus. Dieses Phänomen nennt man Doppelbrechung. Während der eine Strahl dem snelliusschen Brechungsgesetz folgt (ordentlicher Strahl), so gilt dies für den zweiten nicht (außerordentlicher Strahl). Ursache dafür ist die Tatsache, dass in Calcit die Lichtgeschwindigkeit von der Ausbreitungsrichtung und der Polarisationsrichtung des Lichtstrahls abhängt. Während die Wellenfläche des ordentlichen Strahls weiterhin Kugelwellen sind, sind die Wellenflächen des außerordentlichen Strahls Ellipsen.

Führt man die huygenssche Konstruktion mit elliptischen Wellen durch, so ergibt sich, dass die Überlagerung der Wellenflächen wieder zu einer ebenen Welle führt. Die Wellenfront dieser ebenen Welle bewegt sich allerdings nicht mehr nur in Richtung ihrer Normalen, sie kann sich auch schräg dazu bewegen: Die Richtung und Geschwindigkeit der Wellennormalen (im Bild: k) und der Strahlrichtung (im Bild: P) stimmen nicht mehr überein.

Die Form der Wellenfläche kann aus dem Fresnel-Ellipsoid hergeleitet werden. Für die Wellennormale gilt weiterhin das snelliussche Brechungsgesetz. Für jeden Strahl können die entsprechenden Brechungsindizes mit Hilfe des Indexellipsoids bestimmt werden.

Konstruktion des Indexellipsoids und des Fresnel-Ellipsoids

In einem optisch anisotropen Medium muss der lineare Zusammenhang zwischen dem elektrischen Feld $\vec E$ und der dielektrischen Verschiebung $\vec D$ in richtungsabhängiger Form geschrieben werden, da diese beiden Vektoren im allgemeinen nicht mehr parallel zueinander liegen:

$\vec{E} = \varepsilon_0 \vec{\vec{\varepsilon}} \cdot \vec{D},$

wobei die dielektrischen Konstanten (ε_i,j) einen symmetrischen Tensor 2. Stufe bilden. Entsprechend gilt für den dazu inversen Tensor der dielektrischen Moduln η_i,j:

$\vec{D} = \frac{1}{\varepsilon_0} \vec{\vec{\eta}} \cdot \vec{E}$

Diese Tensoren haben jeweils 3 im allgemeinen unterschiedliche Eigenwerte und stimmen aber in der Lage ihrer Hauptachsen überein. In Hauptachsenform haben sie folgende Gestalt:

$\quad \begin{bmatrix} \eta_{1,1} & 0 & 0 \\ 0 & \eta_{2,2} & 0 \\ 0 & 0 & \eta_{3,3} \end{bmatrix} \quad \text{bzw.} \quad \begin{bmatrix} \varepsilon_{1,1} & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_{2,2} & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_{3,3} \end{bmatrix}$

In ihrem Hauptachsensystem (x, y, z) lassen sich Tensoren 2. Stufe mit den Eigenwerten $h_1;\; h_2; \; h_3$ als Ellipsoide darstellen:

$\ h_1 x^2 + h_2 y^2 + h_3 z^2 = 1$.

Die Längen der Halbmesser der Hauptachsen des Ellipsoids betragen:

$\frac{1}{\sqrt{h_1}}; \frac{1}{\sqrt{h_2}}; \frac{1}{\sqrt{h_3}}$

Das Ellipsoid, das den dielektrischen Modul repräsentiert, ist das Indexellipsoid. Die Eigenwerte des Indexellipsoids hängen mit den Hauptbrechungsindizes folgendermaßen zusammen:

$n_{\alpha} = \sqrt{\frac{1}{\eta_{1,1}}}; \quad n_{\beta} = \sqrt{\frac{1}{\eta_{2,2}}}; \quad n_{\gamma} = \sqrt{\frac{1}{\eta_{3,3}}}$

Das den dielektrischen Tensor repräsentierende Ellipsoid heißt Fresnel-Ellipsoid. Die Eigenwerte des Fresnel-Ellipsoids hängen mit den Hauptlichtgeschwindigkeiten folgendermaßen zusammen:

$\frac{c_{\alpha}}{c} =\sqrt{\varepsilon_{1,1}}; \quad \frac{c_{\beta}}{c} =\sqrt{\varepsilon_{2,2}}; \quad \frac{c_{\gamma}}{c} =\sqrt{\varepsilon_{3,3}}$

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Beschreibung der Lichtstrahlen

Verwendung

Indexellipsoid eines optisch einachsigen Kristalls. Rot eingezeichnet sind die Wellennormalenrichtung (k) und die Schnittellipse mit den Brechungsindizes n_o und n_a(=n_e)

Legt man einen Wellennormalenvektor in den Ursprung des Indexellipsoids, so schneidet die Ebene, die senkrecht zu diesem Vektor steht und durch den Ellipsenmittelpunkt steht das Indexellipsoid so, dass als Schnittlinie eine Ellipse entsteht. Die Hauptachsen dieser zu der Wellennormalen gehörenden Schnittellipse geben die Richtungen der D-Vektoren der beiden bei der Doppelbrechung entstehenden Strahlen, und die Achsenabschnitte die dazugehörenden Brechungsindizes der Wellennormale an. Ist die Schnittellipse ein Kreis, so bewegen sich alle Wellennormalen unabhängig von der Polarisation der Welle in dieselbe Richtung. Richtungen mit dieser Eigenschaft nennt man optische Achsen.

Verwendung des Fresnel-Ellipsoids

Mit demselben Verfahren kann man für jede Strahlrichtung an dem Fresnel-Ellipsoid die zugehörige Schnittellipse konstruieren. Die Hauptachsen dieser Schnittellipse geben die beiden Richtungen des E-Vektors und die Lichtgeschwindigkeiten der beiden Strahlen an. Trägt man die Halbmesser dieser Ellipse in Strahlrichtung auf, und lässt die Strahlrichtung alle Richtungen im Raum einnehmen, so erhält man eine 2-schalige Figur. Die beiden Schalen beschreiben die Wellenfronten der beiden bei der Doppelbrechung entstehenden Strahlen.

Mit Hilfe dieser beiden Konstruktionen kann man die Ausbreitung von Licht in ein Medium beschreiben.

Lichtausbreitung in dielektrischen Medien

Nach dem neumannschen Prinzip haben alle Eigenschaftstensoren eine durch das Kristallsystem bestimmte Form. Im Falle von Tensoren 2.Stufe gibt es insgesamt drei prinzipiell unterschiedliche Formen.

Optisch isotrope Kristalle

In einem kubischen Kristall sind die Eigenwerte aller Tensoren 2.Stufe gleich. Sowohl das Indexellipsoid, als auch das Fresnel-Ellipsoid sind daher Kugeln. Folglich sind für alle Strahl- und Wellennormalenrichtungen die zugehörigen Schnittellipsen Kreise. Die beiden Schalen der Strahlfläche fallen auf eine Kugel zusammen. Daher verhalten sich alle Lichtstrahlen unabhängig von ihrer Richtung und Polarisation identisch. Kubische Kristalle sind optisch isotrop.

Optisch einachsige Kristalle

In den wirteligen Kristallsystemen (trigonal,tetragonal und hexagonal) liegt die Hauptachse des Tensors, die auch als optische Achse bezeichnet wird, in Richtung der kristallographischen c-Achse. Die beiden andren Hauptachsen liegen senkrecht zur c-Achse. Entsprechend gibt es 2 unterschiedliche Eigenwerte, die mit $n_{\parallel}\; \text{bzw.} \; n_e \; \text{und} \; n_{\perp}\; \text{bzw.} \; n_o \;$ bezeichnet werden, wobei der Index e für extraordinary (außerordentlich) und der Index o für ordinary (ordentlich) steht. Im Fall, dass Δn := n_e – n_o < 0 ist, heißt der Kristall optisch negativ (1), für Δn > 0 optisch positiv (2). Sowohl das Indexellipsoid, als auch das Fresnel-Ellipsoid sind ein abgeplattetes (1) bzw. verlängertes (2) Rotationsellipsoid. Zur Beschreibung betrachtet man den Strahl im Hauptschnitt, das heißt, in der Ebene, in der sowohl der einfallende Lichtstrahl, als auch die optische Achse liegen. Für jede Wellennormalenrichtung liegt eine Halbachse der zugeordneten Schnittellipse senkrecht zur Hauptebene, die andere liegt in der Hauptebene. Die Länge der senkrecht zur Hauptebene stehenden Halbachse ist für alle Richtungen gleich n_o. Die Länge der anderen Halbachse liegt je nach Winkel zwischen Wellennormalenrichtung und optischer Achse zwischen n_o und n_e. Im Fall, dass die Wellennormale in Richtung der optischen Achse liegt, ist die Schnittellipse ein Kreis. Demzufolge sind beide Brechungsindizes gleich.

Die Schnittellipsen des Fresnel-Ellipsoids verhalten sich genauso. Daher besteht die Wellenfläche aus zwei Schalen: einer Kugel mit dem Radius n_o und einer Rotationsellipse mit den Halbachsenlängen n_o und n_e, wobei die letztgenannte Halbachse die Rotationsachse ist. Dabei liegt, abgesehen von den Berührpunkten, entweder die Ellipse vollständig in der Kugel (1) oder die Kugel vollständig in der Ellipse (2). Dies bedeutet, dass die Wellenfront des ordentlichen Strahls unabhängig von der Strahlrichtung kugelförmig ist, während die Wellenfront des außerordentlichen Strahls elliptisch ist. Nur in Richtung der optischen Achse ist die Strahlgeschwindigkeit beider Strahlen gleich.

Zusammengefasst ergibt sich folgendes: Fällt eine ebene Welle auf einen optisch einachsigen Kristall, so entstehen in der Regel zwei Strahlen.

• Einer der beiden Strahlen ist senkrecht zur Hauptebene polarisiert. Bei diesem Strahl stimmen Strahlrichtung und Wellennormalrichtung - wie bei den Strahlen in optisch isotropen Medien - überein. Er folgt damit dem snelliusschen Brechungsgesetz. Diese Strahl wird daher ordentlicher Strahl genannt.
• Der zweite Strahl ist in der Hauptebene polarisiert. In der Regel stimmen bei ihm Wellennormalrichtung und Strahlrichtung nicht überein. Nur die Wellennormalrichtung folgt dem snelliusschen Brechungsgesetz, mit einem richtungsabhängigen Brechungsindex, der vom Brechungsindex des ersten Strahls abweicht. Der Strahl selbst ist aber gegenüber der „normalen“ Brechungsrichtung seitlich verschoben. Dieser Strahl wird daher außerordentlicher Strahl genannt.
• Wird der Lichtstrahl in Richtung der kristallographische c-Achse eingestrahlt, so verhalten sich ordentlicher und außerordentlicher Strahl identisch: Sie haben den gleichen Brechungsindex und die gleiche Strahlgeschwindigkeit. Daher wird diese Achse auch optische Achse genannt. In einem optisch einachsigen System ist die optische Achse eine Richtung optischer Isotropie.

Optisch zweiachsige Kristalle

In optisch zweiachsigen Kristallen erhält man in der Regel 2 Strahlen, die sich wie der außerordentliche Strahl verhalten. Sie können nach demselben Prinzip beschrieben werden. Allerdings sind die Verhältnisse deutlich komplizierter. Hier kann nur ein Überblick über die Ergebnisse und wichtigsten Besonderheiten gegeben werden. Für weitere Informationen wird auf die Fachliteratur verwiesen.

Im orthorhombischen,monoklinen und triklinen Kristallsystem gibt es drei unterschiedliche Hauptbrechungsindizes: $n_\alpha;\; n_\beta;\; n_\gamma$. Die Hauptachsen (x,y,z) werden so gewählt das gilt:

$n_{1,1}\, :=\, n_{\alpha}\; <\; n_{2,2}\, :=\, n_{\beta}\; < \; n_{3,3}\, :=\, n_{\gamma}$

Die Lage der Kristallachsen zu den Hauptachsen ist im Artikel neumannsches Prinzip beschrieben.

Das Indexellipsoid und das Fresnel-Ellipsoid sind in diesen Systemen dreiachsige Ellipsoide. Die optischen Hauptachsen findet man folgendermaßen: Dreht man den Wellennormalevektor in der xz – Ebene von der z- in die x- Richtung, so haben alle dabei entstehenden Schnittellipsen eine gemeinsame Hauptachse in y-Richtung mit der Länge n_β. Die zweite Hauptachse liegt in der xz – Ebene und durchläuft alle Werte zwischen n_α und n_γ. Aufgrund der obigen Achsendefinition muss es daher eine Richtung geben, bei der diese Achse auch die Länge n_β hat. Eine entsprechende Richtung muss es auch zwischen der z und der –x Richtung geben. Diese beiden Richtungen heißen optische Achsen oder Binormalen. Der Winkel zwischen den Binormalen wird sowohl von der x- als auch von der z-Achse halbiert.

Da es zwei optische Achsen gibt heißen diese Kristalllsysteme optisch zweiachsig. Ist der Winkel zwischen der z-Achse und der Binormalen kleiner 45°, so heißt der Kristall optisch zweiachsig positiv, ist er größer 45°, so heißt der Kristall optisch zweiachsig negativ und ist er gleich 45° so heißt der Kristall optisch zweiachsig neutral.

Die Wellenfläche ist eine Fläche 4.Ordnung. Sie ist eine spezielle Form einer kummerschen Fläche. Auch hier gibt es 2 Richtungen, in denen sich die beiden Schalen berühren: die Biradialen. Sie liegen zwar auch in der xz-Ebene, aber nicht in Richtung der Binormalen. Daher ist in einem zweiachsigen System die optische Achse keine Richtung optischer Isotropie. Dies ist die Ursache der sogenannten konischen Refraktion.

Innere konische Refraktion

Vor eine senkrecht zu einer Binormalen geschnittene Kristallplatte wird eine Blende gestellt, so dass nur ein dünner Lichtstrahl senkrecht zur Platte auf den Kristall fallen kann. Wird der Kristall dann mit einem unpolarisierten Lichtstrahl durchstrahlt, so erkennt man auf einem Schirm hinter dem Kristall einen Ring, dessen Radius sich mit der Entfernung von der Kristallplatte nicht ändert. Zwar bleiben die Wellennormalen alle in Richtung der Binormalen, aber die Wellenfronten verschieben sich- abhängig von ihrer Polarisationsrichtung – senkrecht zur Wellennormalen. Da aber alle Wellennormalen parallel zueinander bleiben, treten alle Strahlen senkrecht zur Kristallfläche aus dem Kristall aus und breiten sich dann auch weiter parallel zueinander aus. Dieser Effekt heißt innere konische Refraktion.

Äußere konische Refraktion

Zwischen zwei Lochblenden wird eine Kristallplatte gestellt, die senkrecht zu einer Biradialen geschnitten ist. Die Blenden sind so angeordnet, dass nur die Lichtstrahlen den Kristall verlassen, die sich im Kristall in Richtung der Biradialen fortbewegt haben. Bestrahlt man die Eintrittsblende so mit divergentem Licht, dass alle möglichen Polarisationsrichtungen durch den Kristall wandern, so erhält man auf einem Schirm hinter dem Kristall ebenfalls wieder einen Kreis, dessen Radius sich mit der Entfernung vom Kristall vergrößert. Ursache dafür ist, dass zwar alle Polarisationsrichtungen dieselbe Strahlgeschwindigkeit haben und sich im Kristall auch in dieselbe Richtung bewegen. Da sie aber unterschiedliche Wellennormalen haben, werden sie an den Kristalloberflächen unterschiedlich gebrochen. Daher muss die Eintrittsblende auch mit divergentem Licht bestrahlt werden. Diesen Effekt nennt man äußere konische Refraktion.

Weblinks

• Die fresnelsche Wellenfläche in einem optisch zweiachsigen System
• Strahlengänge in einem optisch einachsigen System

Literatur

• Heinrich Gobrecht (Hrsg.): Bergmann Schäfer Lehrbuch der Experimentalphysik. Band III Optik. 8. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin 1987, ISBN 3-11-010882-8.
• Will Kleber, et. al: Einführung in die Kristallographie 19. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3.
• D. Schwarzenbach: Kristallographie. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5.