Froudesche Zahl

Die Froude-Zahl (Abkürzung: Fr) (nach: William Froude 1810–1879) ist eine dimensionslose Kennzahl der Physik. Sie stellt ein Maß für das Verhältnis von Trägheitskräften zu Schwerekräften innerhalb eines hydrodynamischen Systems dar. Sie wird beispielsweise in der Hydrodynamik bei Einfluss der freien Flüssigkeitsoberfläche (Freispiegelabfluss) benutzt. Die Froude-Zahl ist neben der Reynolds-Zahl einer der Koeffizienten der dimensionslosen Navier-Stokes-Gleichung.

Definition

Die Froude-Zahl ist definiert als

$\mathit{Fr} = \frac{v}{\sqrt{g L}}$   oder in der quadrierten Darstellung:   $\mathit{Fr}' = \mathit{Fr}^2 = \frac{v^2}{g L}$

mit:

v: charakteristische Strömungsgeschwindigkeit (SI-Einheit: m/s)

L: charakteristische Länge (SI-Einheit: m)

g: Schwerebeschleunigung (SI-Einheit: m/s²)

In der Meteorologie wird bei der Betrachtung von Bergüberströmungen eine Definition verwendet, die die Schichtung der Atmosphäre berücksichtigt:

$\mathit{Fr} = \frac{v}{N H}$

mit:

H: charakteristische Höhe des Berges (SI-Einheit: m)

N: Brunt-Väisälä-Frequenz   $N = \sqrt{g\tfrac1\theta\tfrac{\operatorname{d}\theta}{dz} }$   (SI-Einheit: 1/s)

Ein starrer Körper und ein Modell dieses Körpers, die Wellen verursachen, indem sie sich durch eine Flüssigkeit bewegen, oder den Wellen einer Flüssigkeit ausgesetzt sind, haben auf der Erde genau dann dieselbe Froude-Zahl, wenn das Verhältnis der Längen zum Quadrat der Geschwindigkeit identisch ist.

Wenn Kräfte infolge Viskosität nur einen untergeordneten Einfluss haben, kann man das Verhalten eines Festkörpers an der Flüssigkeitsoberfläche im Modellversuch bei gleicher Froude-Zahl darstellen und die unterschiedlichen Messgrößen wie folgt umrechnen:

• Längen mit dem Längenmaßstab
• Zeiten mit der Quadratwurzel aus dem Längenmaßstab
• Kräfte mit der dritten Potenz des Längenmaßstabs (gleiche Dichte des Fluids vorausgesetzt).
• Beschleunigungen sind in Modell und Großausführung gleich.

Es sei auf die Analogie zur Mach-Zahl hingewiesen.

Anwendungen der Froude-Zahl

Froude-Zahl eines offenen Gerinnes / Gerinne-Froude-Zahl

Setzt man für die charakteristische Länge L die Wassertiefe eines offenen Gerinnes ein, beschreibt die Froude-Zahl das Verhältnis von Fließgeschwindigkeit und der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle (genauer: einer Flachwasserwelle). Hierdurch wird der Strömungszustand eines offenen Gerinnes (z. B. Kanal, Fluss,..) charakterisiert.

• Ruhender Strömungszustand (Fr = 0): Eine Störung (z. B. eine Welle, die entsteht, wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird) breitet sich gleichmäßig in alle Richtungen, also kreisförmig, aus. Die beschreibende Differentialgleichung nennt man elliptisch (Sonderfall des strömenden Zustandes). Beispiel: See.
• Strömender Strömungszustand (Fr < 1): Störungen breiten sich sowohl nach unter- als auch nach oberstrom aus. Die Wellenausbreitung zeigt ein parabelförmiges Muster. Die Strömung wid durch eine parabolische Differentialgleichung beschrieben (Beispiel: Flüsse, außer Gebirgsflüsse).
• Grenzabfluss / kritischer Abfluss (Fr = 1): Die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit stimmt nun genau mit der Fließgeschwindigkeit überein. Wellen können sich nicht mehr gegen die Strömung fortpflanzen. Die nach Oberstrom gerichtete Wellenfront bleibt an der Stelle der Störung "stehen" (Analogie zur Schallmauer). In diesem Zustand kann die größtmögliche Wassermenge beim vorliegenden Energieniveau abgeführt werden. Im Wasserbau wird dies als Abflusskontrolle ausgenutzt (Beispiel: Überströmung eines Wehres).
• Schießender Strömungszustand (Fr > 1): Die Fließgeschwindigkeit übersteigt jetzt die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Eine Störung breitet sich jetzt nur nach unterstrom aus. Ausbreitungsmuster und zugehörigere Differentialgleichung werden hyperbolisch genannt (Beispiel: Gebirgsbach).

Siehe auch

• Dimensionsanalyse
• Flachwassereffekt