- Modulhomomorphismus
-
In der Mathematik ist ein Modulhomomorphismus eine Abbildung
zwischen zwei Moduln M und N über einem Ring R, welche mit der Modulstruktur verträglich ist. Sie übersetzt beispielsweise die Addition von M in die Addition von N. Eine Addition kann man zweifach übersetzen.
- Man addiert zunächst in M und übersetzt dann mit f.
- Man übersetzt mit f die Summanden und berechnet die Summe in N.
Bei einem Homomorphismus ergibt sich stets dasselbe. Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen den Körper durch einen Ring, erhält man einen Modulhomomorphismus. Der Ring braucht nicht kommutativ zu sein.
Inhaltsverzeichnis
Homomorphismus
Definition
Es seien zwei Rechtsmoduln M,N über einem Ring R gegeben. Eine Abbildung
heißt Homomorphismus von M nach N, wenn für alle
und alle
gilt:
- f(m1 + m2) = f(m1) + f(m2) und
Entsprechend erklärt man den Begriff des Homomorphismus zwischen Linksmoduln: Eine Abbildung
zwischen zwei Linksmoduln M und N über dem Ring R heißt Homomorphismus von M nach N, wenn für alle
und alle
gilt:
- f(m1 + m2) = f(m1) + f(m2) und
Die Menge der Homomorphismen von M nach N wird mit
bezeichnet.
Ein Homomorphismus
von einem Modul M in sich selbst heißt Endomorphismus von M.
Sind M und N zwei S-R-Bimoduln über Ringen R und S, so heißt eine Abbildung
ein Homomorphismus von S-R-Bimoduln , wenn für alle
gilt:
- f(m1 + m2) = f(m1) + f(m2) und
.
Beispiele
- Ist M ein beliebiger Modul, so gibt es genau einen Homomorphismus
, nämlich
. Es ist {0} ein Anfangsobjekt in der Kategorie der Rechtsmoduln. Genauso gibt es nur einen Homomorphismus
, die Nullabbildung (
für alle
). Es ist auch {0} ein Endobjekt. Man fasst zusammen, wenn man sagt, {0} ist ein Nullobjekt.
- Die Identität
ist ein Homomorphismus.
- Das Zentrum eines Ringes R ist die Menge
ist ein Unterring des Ringes R. Ist s im Zentrum des Ringes, so ist
ein Homomorphismus.
- Sind
zwei Homomorphismen, so ist ihre Summe
ein Homomorphismus.
Eigenschaften
- Ist
ein Homomorphismus und ist
ein Untermodul von N so ist
ein Untermodul von M. Insbesondere ist f − 1({0}) ein Untermodul von M. Dieser Untermodul heißt Kern des Homomorphismus f. Er wird oft mit
oder auch einfach
bezeichnet.
- Ist U ein Untermodul von M und
ein Modulhomomorphismus, so ist
ein Untermodul von N. Er heißt Bild von U unter f. Insbesondere ist f(M), die Bildmenge von f, ein Untermodul von N.Er wird oft mit
oder einfach
bezeichnet.
- Die Verkettung oder Komposition zweier Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Menge der Moduln über einem Ring bilden zusammen mit den Homomorphismen eine Kategorie.
- Ist M ein Modul, so bildet die Menge der Endomorphismen einen unitären Ring. Dabei ist die Addition die Addition der Endomorphismen und die Multiplikation ist die Verkettung.
Monomorphismus
Satz
Für einen Homomorphismus
zwischen Moduln sind folgende Aussagen äquivalent.
- Für alle
mit f(a) = f(b) ist a = b.
- f ist links kürzbar. Das heißt: Für alle Moduln LR und alle Homomorphismen
gilt:
.
Erfüllt ein Homomorphismus
eine und damit alle äquivalenten Eigenschaften des Satzes, so heißt
Monomorphismus zwischen den Moduln. Die dritte Aussage des Satzes besagt, dass f im Sinne der Kategorientheorie ein Monomorphismus ist.
Beispiele
- Ist
ein Untermodul, so ist die Inklusionsabbildung
ein Monomorphismus.
- Jeder
-Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen, welcher nicht die Nullabbildung ist, ist ein Monomorphisus.
Bemerkungen
- Sind
und
Monomorphismen, so ist
ein Monomorphismus.
- Ist
ein Monomorphismus, so ist f ein Monomorphismus.
- Ist
ein Monomorphismus, so ist
.
Epimorphismus
Definition
Für einen Modulhomomorphismus
sind folgende Aussagen äquivalent:
- N / f(M) = 0. Dabei ist N / f(M) der Faktormodul von N modulo f(M).
- Die Abbildung f ist surjektiv.
- f ist rechts kürzbar. Das heißt für alle Moduln P und alle Homomorphismen
gilt:
.
Ein Homomorphismus, der eine und damit alle diese Eigenschaften erfüllt, heißt Epimorphismus. Die zweite Eigenschaft des Satzes besagt, dass der Homomorphismus im Sinne der Kategorientheorie ein Epimorphismus ist.
Beispiele
- Die Identität
ist ein Epimorphismus.
- Ist R ein Integritätsring und K sein Quotientenkörper, so ist jeder Homomorphismus
ein Monomorphismus und ein Epimorphismus.
- Es sei p eine Primzahl und
der kleinste Unterring der rationalen Zahlen, der p − 1 enthält. Ist
, so ist jeder Endomorphismus von
, der ungleich der Nullabbildung ist, ein Epimorphismus. Aber die Multiplikation mit p ist kein Monomorphismus.
Eigenschaften
- Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus.
- Ist
und gf ein Epimorphimus, so ist g ein Epimorphsmus und es ist
.
Isomorphismen
Ein Homomorphismus
heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomorphismus
gibt, so dass
und
ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn f ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist. Dabei ist
die Identität auf dem Modul M und
analog die Identität auf dem Modul N. Zwei Moduln M,N heißen isomorph, in Zeichen
, wenn es einen Isomorphismus
gibt.
Produktzerlegungen von Homomorphismen
Homomorphiesatz
Ist
ein Homomorphismus, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus
, so dass f * π = f gilt. Dabei ist
mit
der kanonische Epimorphismus. f * ist stets ein Monomorphismus. Ist f ein Epimorphismus, so ist f * ein Isomorphismus.
Der Homomorphiesatz besagt also, dass das folgende Diagramm kommutiert.
1. Isomorphiesatz
Seien
Untermoduln von M Dann gilt:
. Der Isomorphismus ist
Folgerung: Seien
und
Untermoduln von M mit
, so ist
.[1]
2. Isomorphiesatz
Es seien
Untermoduln von M. Dann gilt:
.[2]
Der Hom Funktor
Sind M,N Moduln, so ist
die Menge der Homomorphismen
.
Moduleigenschaften von Hom
- Die Menge
wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen
die Summe folgendermaßen definiert ist:
.
- Ist M ein S − R Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring S und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring R, so wird
auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring S, wenn man für
und
definiert:
. Ist insbesondere S der Endomorphismenring von M, so ist
auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring S.
- Ist N ein S − R Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring S und auf der rechten Seite über dem Ring R , so wird
auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring S, wenn man für
und
definiert:
.
Der kovariante Funktor Hom
Ist M ein Modul, so ordnet man jedem Modul N die abelsche Gruppe
zu. Jedem Homomorphismus
wird der Homomorphismus
zugeordnet. Es gilt dann für alle
:
. Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet.
ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln über dem Ring R in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist M wie oben ein S − R Bimodul, so ist
ein Funktor von der Kategorie der Moduln über R in die Kategorie der Moduln über S.
Linksexaktheit von Hom
Für einen Komplex
sind die folgenden Aussagen äquivalent:
Komplex bedeutet
.
Einzelnachweise
- ↑ Friedrich Kasch, Moduln und Ringe , Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57
- ↑ Friedrich Kasch, Moduln und Ringe , Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58
Literatur
- Frank W. Anderson and Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
- Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
- Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1
Wikimedia Foundation.