Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung (auch im Deutschen nach englischer Transkription teilweise Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung genannt) beschreibt in der Elektrodynamik das Verhalten der magnetischen Momente eines ferromagnetischen Materials in einem effektiven magnetischen Feld $\textbf{H}_{eff}$. Benannt ist sie nach Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz und T. L. Gilbert. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung, aus der allerdings durch Berücksichtigung der nichtlokalen Natur dieses Effektivfeldes bezüglich der Wechselwirkung der Magnetisierungsdipole eine komplizierte Integro-Differentialgleichung entsteht.

Landau-Lifschitz-Gleichung

Die ursprüngliche Landau-Lifschitz-Gleichung wurde im Jahr 1935 aufgestellt. Sie beschreibt sowohl die Präzession der Magnetisierung $\textbf{M}$ ^[1] als auch die auftretende Dissipation. M_S ist der konstante Betrag des Vektors $\textbf M\,,$ die sogenannte „Sättigungsmagnetisierung“.

$\frac{\partial \textbf{M}}{\partial t} = - \gamma \textbf{M} \times \textbf{H}_{eff} - \frac{\lambda}{\mathrm M_S} \textbf{M} \times (\textbf{M} \times \textbf{H}_{eff})$

mit dem gyromagnetischen Verhältnis γ und dem phänomenologischen Dämpfungsparameter λ. Jedoch versagt diese Formel für den Fall großer Dämpfung ($\lambda \rightarrow \infty$).

Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

1955 ersetzte Gilbert den Dämpfungsterm und führte eine Art zähflüssige Kraft ein. Es ergab sich die sog. Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung:

$\frac{\partial \textbf{M}}{\partial t} = - \frac{\gamma}{1+\alpha ^2} \textbf{M} \times \textbf{H}_{eff} - \frac{\gamma \alpha}{(1+\alpha^2)\mathrm M_S} \textbf{M} \times (\textbf{M} \times \textbf{H}_{eff})\,,$

die sich in äquivalenter Form auch einfacher schreiben lässt (exakt!):

$\frac{\partial \textbf m}{\partial t}\, =\, -\gamma_G \,\textbf m\times \textbf{H}_{eff}\, +\, g\,\textbf m\times\frac{\partial \textbf m}{\partial t}\,,$

mit $\gamma_G=\frac{\gamma}{1+\alpha ^2}$, dem Gilbert-Dämpfungsparameter g = | γ_G | α und der Identifikation $\textbf m=\frac{\textbf M}{\mathrm M_S}$ (Einheitsvektor). Man kann zeigen, dass die zuletzt resultierende Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung mit der im vorigen Unterkapitel zitierten originalen Landau-Lifschitz-Gleichung identisch ist, wenn man g | γ | mit λ identifiziert; der entscheidende Unterschied ist aber, außer der größeren formalen Einfachheit, dass in "fits" jetzt nicht γ und $\lambda\,,$ sondern γ_G und α benutzt werden. Formal wird nur $\,\gamma\textbf{H}_{eff}$ durch $\gamma_G\textbf{H}_{eff}-{g}\,\frac{\partial \textbf m}{\partial t}$ ersetzt; der letzte Term enthält alle Dämpfungsterme.

Im Gegensatz zur Landau-Lifschitz-Gleichung richtet sich das magnetische Moment nun asymptotisch für $t\to\infty$ in Richtung des Feldes aus, wobei sich nun wie in der Mechanik beim „gedämpften Oszillator“ ^[2]  die Dämpfung auch auf die Präzessionsfrequenz auswirkt. Für den Fall kleiner Dämpfung geht die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifschitz-Gleichung über.

Das „effektive Feld“

Landau und Lishitz haben 1935 noch angegeben, wie der Vektor $\textbf H_{eff}$ von allen vier beteiligten Wechselwirkungen (der „magnetischen Austauschenergie“, der „Dipol-Dipol-Energie“, der „Anisotropieenergie“ und der „Zeeman-Energie“) abhängt. Auf Einzelheiten kann hier nicht eingegangen werden.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Zur Bedeutung des Vektors $\textbf M\,:$    Es gilt, dass $\mu_0\textbf{M}\mathrm dV$ das magnetische Moment des infinitesimal-kleinen Volumens dV ist. Dabei ist μ₀ die magnetische Vakuumpermeabilität.
2. ↑ Zum gedämpften harmonischen Oszillator: Siehe alle Lehrbücher der theoretischen Mechanik