Langzahlarithmetik

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Die Langzahlarithmetik beschäftigt sich mit dem Rechnen mit Zahlen, bei denen eine sehr hohe Anzahl an Stellen zu verarbeiten ist.

In der herkömmlichen Computerarithmetik begrenzt die Länge des Datenworts, das im Rechenwerk des Prozessors Platz findet, die Länge der Zahlen, mit denen gerechnet werden kann. In heutigen Rechnern sind das typischerweise 32 oder 64 Bit. Diese Hardwareeigenschaft spiegelt sich wider in dem Sortiment an elementaren numerischen Datentypen, die die Programmiersprachen zur Verfügung stellen, und die maximal Raum bieten für vorzeichenbehaftete Ganzzahlen von −2.147.483.648 bis 2.147.483.647, bzw., bei 64-Bit-Rechnern, von −9.223.372.036.854.775.808 bis 9.223.372.036.854.775.807.^[1]

In der Langzahlarithmetik setzt nun nicht die Prozessorarchitektur, sondern die Größe des verfügbaren Arbeitsspeichers den Spielraum, innerhalb dessen beliebig lange Zahlen verarbeitet werden können. Bei einigen modernen Programmiersprachen ist Langzahlarithmetik standardmäßig eingebaut, bei anderen stehen dafür Bibliotheken zur Verfügung. Computeralgebrasysteme unterstützen (neben der symbolischen Mathematik, mit der sie nicht zu verwechseln ist) seit jeher auch Langzahlarithmetik.

Bei der Implementierung stehen möglichst effiziente mathematische Algorithmen im Vordergrund, um die Berechnungszeiten zu minimieren.

Anwendungen der Langzahlarithmetik sind z.B.:

• Wenn mit großen Zahlen exakt gerechnet werden muss, etwa in der Kryptographie oder bei vielen Anwendungen von Fakultäten und Binomialkoeffizienten
• Wenn Zahlen wie Pi oder andere mathematischen Konstanten auf möglichst viele Stellen genau ermittelt werden sollen.
• Wenn man Systeme simuliert, deren Verhalten so empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt (Schmetterlingseffekt), dass die begrenzte Genauigkeit gewöhnlicher Arithmetik das Ergebnis unbrauchbar macht.

Einzelnachweise

1. ↑ Integer_(Datentyp)#Maximaler_Wertebereich_von_Integer