Raychaudhuri-Gleichung

Die Raychaudhuri-Gleichung (oder Landau-Raychaudhuri-Gleichung) ist ein grundlegendes Ergebnis der allgemeinen Relativitätstheorie und beschreibt die Bewegung benachbarter Teilchen.

Die Gleichung ist ein grundlegendes Lemma für das Singularitäten-Theorem und für die Analyse exakter Lösungen der allgemeinen Relativitätstheorie. Sie bestätigt zudem auf einfache Weise unsere intuitive Vorstellung, dass die lokale Wirkung der Gravitation in der allgemeinen Relativitätstheorie dem newtonschen Gravitationsgesetz entspricht: eine allgemeine Anziehungskraft zwischen Paaren von ‘Teilchen’ (nun als Masse und Energie verstanden).

Mathematische Formulierung

Die Weltlinien der betrachteten Teilchen werden durch ein zeitartiges und normiertes vierdimensionales Vektorfeld X beschreiben. Die Beschreibung durch ein Vektorfeld impliziert, dass sich die Weltlinien nicht schneiden, die Teilchen also nicht kollidieren. Die Weltlinien der Teilchen müssen nicht notwendig Geodäten sein, so dass die Gleichung auch im Falle äußerer Kraftfelder gültig ist. Aus dem metrischen Tensor g_ab und dem Vektorfeld wird der Tensor

$h_{ab} = g_{ab} - X_a \, X_b$

konstruiert, welcher als metrischer Tensor auf den zum Vektorfeld X orthogonalen Hyperflächen aufgefasst werden kann. Das grundsätzliche Untersuchungsobjekt der Raychaudhuri-Gleichung ist nun die Projektion der kovarianten Ableitung des Vektorfelds auf die orthogonalen Hyperflächen

${h^m}_a \, {h^n}_b X_{m;n}$

wobei dieser Tensor in seinen symmetrischen Anteil, den Expansionstensor („expansion tensor“)

$\theta_{ab} = {h^m}_a \, {h^n}_b X_{(m;n)}$

und seinen antisymmetrischen Anteil, den Vortizitätstensor („vorticity tensor“)

$\omega_{ab} = {h^m}_a \, {h^n}_b X_{[m;n]}$

aufgespalten wird. Abgeleitete Größen sind

$\theta = g^{ab} \theta_{ab}, \quad \sigma_{ab} = \theta_{ab} - \frac{1}{3} \, \theta \, h_{ab}, \quad \sigma^2 = \sigma_{mn} \, \sigma^{mn}, \quad \omega^2 = \omega_{mn} \, \omega^{mn}$.

Dabei wird σ_ab als Scherungstensor („shear tensor“) und θ als Expansionsskalar („expansion scalar“) bezeichnet.

Mittels dieser Größen lautet die Raychaudhuri-Gleichung

$\dot{\theta} = \omega^2 - \sigma^2 - \frac{\theta^2}{3} - R_{mn} \, X^m \, X^n + {{\dot{X}^a}}_{;a}$

Ein Punkt über einer Größe bezeichnet dabei die Ableitung nach der Eigenzeit, das bedeutet $\dot{X}$ bezeichnet das Beschleunigungsfeld der Teilchen.

Physikalische Interpretation

Der Expansionsskalar beschreibt die Änderungsrate des Volumens eines kleinen Balls aus Materie bezüglich der Zeit eines mitbewegten Beobachters im Zentrum des Balls (daher kann diese Rate auch negativ werden). Anders ausgedrückt ist die Raychaudhuri-Gleichung die dynamische Gleichung der Ausdehnung des Vektorfeldes. Falls die Ableitung nach der Eigenzeit $\dot{\theta}$ entlang einer Weltlinie negativ ist, bedeutet das, dass eine eventuelle Expansion einer Staubwolke sich verlangsamt und gegebenenfalls in einen beschleunigten Kollaps übergeht, während der Kollaps einer bereits kollabierenden Wolke beschleunigt wird. Ist die Ableitung positiv, so entspricht dies einer beschleunigten Expansion beziehungsweise einem sich verlangsamenden Kollaps.

Der Scherungstensor beschreibt die Deformation einer Kugelförmigen Wolke hin zu einer ellipsoiden Form. Der Vortizitätstensor beschreibt eine Verdrillung naher Weltlinien, was sich anschaulich als Rotation der Wolke auffassen lässt.

Anschaulich lässt sich anhand der Vorzeichen feststellen, welche Terme eine Expansion beschleunigen und welche Terme einen Kollaps bewirken:

1. Expansion
   • Eine Rotation der Wolke beschleunigt die Expansion, analog zur Zentrifugalkraft der klassischen Mechanik.
   • Eine positive Divergenz des Beschleunigungsvektors ${{\dot{X}^a}}_{;a} >0$, die durch Krafteinwirkung, beispielsweise durch eine Explosion, verursacht werden kann.
2. Kollaps
   • Eine hohe Scherung, also eine elliptische Deformation, beschleunigt einen Kollaps beziehungsweise bremst eine Expansion.
   • Eine anfängliche Expansion wird durch den Term $- \frac{\theta^2}{3}$ gebremst, während ein anfänglicher Kollaps beschleunigt wird, weil θ quadratisch eingeht.
   • Positivität von $R_{mn} \, X^m \, X^n$, der Spur des Gezeitentensors („tidal tensor“), auch Raychaudhuri-Skalar genannt. Dieses Verhalten wird durch die starke Energiebedingung, die für die meisten Formen klassischer Materie erfüllt ist, erzwungen.
   • Eine negative Divergenz des Beschleunigungsvektors ${{\dot{X}^a}}_{;a} >0$, die durch Krafteinwirkung verursacht werden kann.

In den meisten Fällen ist die Lösung der Gleichung eine ewige Expansion oder ein totaler Kollaps der Wolke. Es können jedoch sowohl instabile als auch stabile Gleichgewichtszustände existieren. Ein Beispiel für ein stabiles Gleichgewicht ist eine Wolke eines perfekten Fluids im hydrodynamischen Gleichgewicht. Expansion, Scherung und Vortizität verschwinden und eine radiale Divergenz des Beschleunigungsvektors kompensiert den Raychaudhuri-Skalar, der für ein perfektes Fluid die Form $R_{mn} \, X^m \, X^n = 4 \pi ( \mu + 3 p )$ annimmt.

Ein Beispiel für ein instabiles Gleichgewicht ist die Gödel-Metrik. In diesem Fall verschwinden Scherung, Expansion und Beschleunigung, während eine konstante Vortizität genauso groß ist wie der konstant Raychaudhuri-Skalar, der von einer kosmologischen Konstante herrührt.

Fokussierungssatz

Angenommen, die starke Energiebedingung gelte in einer Raumzeit-Region und X sei ein zeitartiges, geodätisches (d.h. $\dot{X}=0$) normiertes Vektorfeld, mit verschwindender Vortizität. Dies beschreibt beispielsweise die Weltlinien von Staubteilchen in kosmologischen Modellen, in denen die Raumzeit nicht rotiert, wie dem staubgefüllten Friedmann-Universum.

Dann lautet die Raychaudhuri-Gleichung

$\dot{\theta} = - \sigma^2 - \frac{\theta^2}{3} - R_{mn} \, X^m \, X^n$.

Offensichtlich ist die rechte Seite immer negativ. Selbst wenn der Expansionsskalar also zu Beginn positiv ist, die betrachtete Staubwolke sich also zunächst ausdehnt, wird der Expansionsskalar irgendwann negativ und die Staubwolke kollabiert.

Tatsächlich gilt

$\dot{\theta} \leq - \frac{\theta^2}{3}$.

Wenn man diese Ungleichung integriert, erhält man

$\frac{1}{\theta} \geq \frac{1}{\theta_0} + \frac{\tau}{3}$.

Falls der Anfangswert θ₀ des Expansionsskalars negativ ist, konvergieren die Geodäten nach einer Eigenzeit von maximal − 3 / θ₀ in einer Kaustik (das heißt θ geht gegen minus unendlich). Dies muss nicht auf eine starke Krümmungssingularität hinweisen, es bedeutet jedoch, dass das Modell zur Beschreibung der Staubwolke ungeeignet wird. In einigen Fällen wird sich die Singularität in geeigneten Koordinaten als physikalisch wenig schwerwiegend erweisen.

Optische Gleichungen

Es gibt auch eine optische Version der Raychaudhuri-Gleichung, die für Scharen lichtartiger Geodäten, sogenannter Nullgeodäten, die durch ein lichtartiges Vektorfeld U beschrieben werden.

$\dot{\widehat{\theta}} = - \frac{1}{2}\widehat{\theta}^2 - \widehat{\sigma}^2 - T_{\mu\nu} U^\mu U^\nu$.

Dabei ist T_μν der Energie-Impuls-Tensor. Die Hüte über den Symbolen bedeuten, dass die Größen nur in transversaler Richtung betrachtet werden. Setzt man die Nullenergiebedingung voraus, bilden sich Kaustiken, bevor der affine Parameter der Geodäten $2/\widehat{\theta}_0$ erreicht.

Siehe auch

• Singularität (Astronomie)

Literatur

• Poisson, Eric: A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press 2004, ISBN 0-521-83091-5 Siehe Kapitel 2.
• Carroll, Sean M.: Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley 2004, ISBN 0-8053-8732-3 Siehe Anhang F.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcom; Hoenselaers, Cornelius; Hertl, Eduard: Exact Solutions to Einstein's Field Equations (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press 2003, ISBN 0-521-46136-7 Siehe Kapitel 6.
• Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R.: The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press 1973, ISBN 0-521-09906-4 Siehe Kapitel 4.1
• Raychaudhuri, A. K.: Relativistic cosmology I.. In: Phys. Rev.. 98, 1955, S. 1123. doi:10.1103/PhysRev.98.1123. Raychaudhuri's originaler Artikel.
• Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati; and Kar, Sayan: Kinematics of geodesic flows in stringy black hole backgrounds.. In: Phys. Rev. D. 79, 2009, S. 124004. doi:10.1103/PhysRevD.79.124004. Siehe Kapitel IV.
• Kar, Sayan; and SenGupta, Soumitra: The Raychaudhuri equations: A Brief review.. In: Pramana. 69, 2007, S. 49. doi:10.1007/s12043-007-0110-9.

Weblinks

• John C. Baez, Emory F. Bunn: The Meaning of Einstein's Field Equation. (Die Raychaudhuri-Gleichung steht im Mittelpunkt dieser bekannten (und sehr empfehlenswerten) halbtechnischen Darstellung von dem, was die Einstein-Gleichung aussagt.)