Chow-Test

Chow-Test

Der Chow-Test ist ein statistischer Test, mit dem sich die Koeffizienten zweier linearer Regressionen auf Gleichheit testen lassen. Der Test ist nach seinem Erfinder, dem Ökonomen Gregory Chow, benannt.

Der Chow-Test wird in der Ökonometrie verwendet, um Zeitreihen auf Strukturbrüche zu testen. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Programmevaluation, hierbei werden zwei unterschiedliche Teilgruppen (Programme), wie zum Beispiel zwei Schultypen, miteinander verglichen. Im Gegensatz zur Zeitreihenanalyse lassen sich hier die beiden Teilgruppen keinen aufeinander folgenden Intervallen zuordnen, stattdessen erfolgt die Einteilung nach einem qualitativen Aspekt, wie zum Beispiel dem Schultyp.

Strukturbruch Programmevaluation

Chow test structural break.png

Chow test substructures.png

Bei x = 1.7 liegt ein Strukturbruch vor, Regressionen auf den Teilintervallen [0,1.7] und [1.7,4] liefern eine bessere Modellierung als die Regression über dem Gesamtinterval (gestrichelt)

Vergleich zweier Programme (rot, grün) im selben Datensatz, separate Regressionen auf den zu einem Programm gehörigen Daten liefern eine bessere Modellierung als die Regression über den gesamten Datensatz (schwarz)

Vorgehen

Gegeben ist ein Datensatz (Yi,Xi) mit X_i=(x_{i1},\ldots,x_{ik}) für i=1\ldots N, dessen Beziehung durch eine lineare Funktion mit einem normalverteilten Fehler (ε) mit Erwartungswert 0 (E(\epsilon)=0 ) beschrieben wird (multiple Regressionsanalyse), d.h. man hat

Y_{i}=c_0+c_1x_{i1}+c_2x_{i2}+\ldots+c_kx_{ik}+\epsilon_i für i=1\ldots N.

Man vermutet jedoch, dass sich der Datensatz in zwei Gruppen aufteilen lässt, die durch zwei unterschiedliche lineare Funktionen besser beschrieben werden.

Y_{i}=a_0+a_1x_{i1}+a_2x_{i2}+\ldots+a_kx_{ik}+\epsilon_i für i=1\ldots N_a
Y_{i}=b_0+b_1x_{i1}+b_2x_{i2}+\ldots+b_kx_{ik}+\epsilon_i für i=N_a+1\ldots N

Hierbei ist N = Na + Nb und es wird die Hypothese H_0:\, (a_0,a_1,\ldots,a_k)=(b_0,b_1,\ldots,b_k) gegen H_1:\, (a_0,a_1,\ldots,a_k)\neq (b_0,b_1,\ldots,b_k) getestet. Bezeichnet man die Summe der quadrierten Residuen der Regression über den gesamten Datensatz mit S und über die beiden Teilgruppen mit Sa und Sb, dann folgt die unten definierte Testgröße T einer F-Verteilung mit den Freiheitsgraden k + 1 und Na + Nb − 2(k + 1).

T:=\frac{(S-(S_a+S_b))/(k+1)}{(S_a+S_b)/(N_a+N_b-2(k+1))}

Beispiel

Gegeben ist der folgende Datensatz, dessen Beziehung durch die lineare Funktion Y = c0 + c1X modelliert werden soll:

Xi 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Yi −0,043 0,435 0,149 0,252 0,571 0,555 0,678 3,119 2,715 3,671 3,928 3,962
Der Datenplot legt einen Strukturbruch bei x = 4 nahe.

Ein Datenplot lässt vermuten, dass bei x = 4 ein Strukturbruch vorliegt, daher teilt man den Datensatz in 2 Intervalle [0.5,3.5] und [4.0,6.0] ein und führt über diesen, zusätzlich zur Regression über den gesamten Datensatz, getrennte Regressionen durch. Dann testet man, ob die beiden Teilregressionen dieselbe lineare Funktion erzeugen, also  H_0:\,(a_0,a_1)=(b_0,b_1) gegen  H_1:\,(a_0,a_1)\neq(b_0,b_1)

Regression auf dem gesamten Datensatz:

\overline{x}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} X_i=3.250 \overline{y}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} Y_i= 1.666
S_{xx}=\sum_{i=1}^{12} (X_i-\overline{x})^2=37.750 S_{yy}=\sum_{i=1}^{12} (Y_i-\overline{y})^2= 29.771
S_{xy}=\sum_{i=1}^{12} (X_i-\overline{x})(Y_i-\overline{y})=30.061 S=S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}=4.933

Regression auf [0.5,3.5]

\overline{x}=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^{7} X_i=2.000 \overline{y}=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^{7} Y_i= 0.371
S_{xx}=\sum_{i=1}^{7} (X_i-\overline{x})^2=7.000 S_{yy}=\sum_{i=1}^{7} (Y_i-\overline{y})^2= 0.408
S_{xy}=\sum_{i=1}^{7} (X_i-\overline{x})(Y_i-\overline{y})=1.415 S_a=S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}=0.122
Datenplot mit Regressionsgeraden.

Regression auf [4.0,6.0]

\overline{x}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} X_i=5.000 \overline{y}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} Y_i= 4.800
S_{xx}=\sum_{i=1}^{5} (X_i-\overline{x})^2=2.500 S_{yy}=\sum_{i=1}^{5} (Y_i-\overline{y})^2= 1.186
S_{xy}=\sum_{i=1}^{5} (X_i-\overline{x})(Y_i-\overline{y})=1.450 S_b=S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}=0.345

Berechnung der Testgröße:

T:=\frac{(S-(S_a+S_b))/(k+1)}{(S_a+S_b)/(N_a+N_b-2(k+1))}=34.484

Wegen F_{2;8;0,95}=4,459\,  (Signifikanzniveau \alpha = 0,05\,) gilt  T\ge F_{2;8;0,95}. Somit kann die Nullhypothese H_0\, verworfen werden. Das heißt, die beiden Regressionsgeraden auf den Teilintervallen sind nicht identisch. Es liegt also ein Strukturbruch vor und die Teilregressionen liefern eine bessere Modellierung als die Regression über den gesamten Datensatz.

Literatur


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