Schwach-kompakter Operator

Schwach-kompakte Operatoren werden in der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse linearer beschränkter Operatoren zwischen Banachräumen mit einer zusätzlichen Kompaktheitseigenschaft, die den kompakten Operatoren nachempfunden ist. Diese Begriffsbildung spielt eine wichtige Rolle in der Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Definition

Seien X und Y Banachräume. Ein linearer Operator $T:X\rightarrow Y$ heißt schwach-kompakt, wenn für jede beschränkte Menge $B\subset X$ der schwache Abschluss $\overline{T(B)}^w$ des Bildes schwach kompakt ist.

Ersetzt man in dieser auf S. Kakutani und K. Yosida zurückgehenden Definition die schwache Topologie durch die Normtopologie, so erhält man genau den Begriff des kompakten Operators.

Eigenschaften

Für einen linearen Operator $T:X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen gilt:

T kompakter Operator $\Rightarrow \,T$ schwach-kompakter Operator$\Rightarrow \,T$ beschränkter Operator.

Die Umkehrungen gelten nicht, wie die identischen Operatoren auf den Folgenräumen $\ell^1$ und $\ell^2$ zeigen.

• ${\rm id}_{\ell^1}$ ist beschränkt, aber nicht schwach-kompakt.
• ${\rm id}_{\ell^2}$ ist schwach-kompakt, aber nicht kompakt.

Sind X und Y Banachräume, von denen mindestens einer reflexiv ist, so ist jeder beschränkte lineare Operator zwischen ihnen schwach-kompakt.

Summen, skalare Vielfache und Norm-Grenzwerte schwach-kompakter Operatoren sind wieder schwach-kompakt. Ein Produkt ST beschränkter linearer Operatoren ist schwach-kompakt, wenn einer der Faktoren S oder T schwach-kompakt ist. Die Menge aller schwach-kompakten Operatoren zwischen den Banachräumen X und Y ist daher bezüglich der Operatornorm wieder ein Banachraum. Im Falle X = Y liegt ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in der Banachalgebra aller beschränkten Operatoren auf X vor.

Charakterisierungen

Der folgende einfache Satz charakterisiert die schwache Kompaktheit:

Für einen linearen Operator $T:X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen sind

folgende Aussagen äquivalent:

• T ist schwach-kompakt.
• $T(\{x\in X; \|x\|\le 1\})$ ist relativ schwach-kompakt.
• Jede beschränkte Folge (x_n)_n in X hat eine Teilfolge $(x_{n_m})_m$, so dass $(Tx_{n_m})_m$ in Y schwach konvergiert.

In der folgenden auf V. R. Gantmacher (für den Fall separabler Räume) und Nakamura (für den allgemeinen Fall) zurückgehenden Charakterisierung bezeichne j_X die kanonische Einbettung in den Bidualraum X''.

Für einen linearen Operator $T:X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

• T ist schwach-kompakt.
• $T''(X'')\subset j_Y(Y) \subset Y''$.

Satz von Gantmacher

In Analogie zum Satz von Schauder gilt der folgende

Satz von Gantmacher: Für einen linearen Operator $T:X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

• T ist schwach-kompakt.
• Der adjungierte Operator $T':Y'\rightarrow X'$ ist schwach-kompakt.

Daraus kann man eine weitere Charakterisierung herleiten: Für einen linearen Operator $T:X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

• T ist schwach-kompakt.
• $T':Y'\rightarrow X'$ ist schwach*-schwach-stetig.

Quellen

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3.