Satz von Seifert und van Kampen

Der Satz von Seifert und van Kampen (benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie. Er macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes X, indem man die Fundamentalgruppen zweier offener, wegzusammenhängender Unterräume U und V, welche X überdecken, betrachtet. So kann man die Fundamentalgruppe von komplizierten Räumen aus denjenigen einfacherer Räume berechnen.

Die einfache Hälfte des Satzes

Es sei (X, * ) ein wegzusammenhängender punktierter Raum. Weiter sei $(U_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ eine offene Überdeckung von X durch wegzusammenhängende Teilmengen, die alle den Punkt * enthalten und deren paarweise Schnitte jeweils auch wegzusammenhängend sind.

Für $\lambda \in \Lambda$ sei $f_{\lambda }:(U_{\lambda },*) \rightarrow (X,*)$ die Inklusion. Dann wird π₁(X, * ) erzeugt von den Untergruppen $\pi_{1}(f_{\lambda })(U_{\lambda },*),\lambda \in \Lambda.$

Die Aussage ist also, dass die relativen Homotopieklassen in X von geschlossenen Wegen, die ganz in einem U_λ verlaufen, die Fundamentalgruppe von X erzeugen. Insbesondere ist X einfach zusammenhängend, wenn jedes U_λ diese Eigenschaft besitzt.

Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen

Es seien X ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $U_1 , U_2 \subseteq X$ offen und wegzusammenhängend, sodass$X = U_1 \cup U_2$ gilt, und $* \in U_3 := U_1 \cap U_2$ . Auch U₃ sei wegzusammenhängend. Zu den Inklusionen von U₃ nach U₁,U₂ gehören (nicht notwendigerweise injektive) Homomorphismen

$v_i : \pi_1 (U_3 , *) \rightarrow \pi _1 (U_i , *), i = 1, 2.$

Zu den Inklusionen von U_j nach X gehören Homomorphismen

$u_j : \pi_1 (U_j , *) \rightarrow \pi_1 (X, *), 1 \leq j \leq 3.$

Offensichtlich gilt hierbei $u_3 = u_i \circ v_i , i = 1, 2.$ Es seien weiter H eine beliebige Gruppe, und $p_j : \pi_1 (U_j , *) \rightarrow H$ Gruppenhomomorphismen mit der Eigenschaft

$p_3 = p_i \circ v_i , i = 1, 2.$

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus $p : \pi_1 (X, *) \rightarrow H$, sodass

$p_j= p \circ u_j, 1 \leq j \leq 3.$

Also sagt der Satz von Seifert und van Kampen eine universelle Abbildungseigenschaft der ersten Fundamentalgruppe aus.

Kombinatorische Version

In der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist π₁(X, * ) das amalgamierte Produkt von π₁(U₁, * ) und π₁(U₂, * ) über π₁(U₃, * ) via der Homomorphismen u₁ und u₂. Wenn diese drei Fundamentalgruppen folgende Präsentierungen haben:

$\pi_1(U_1,*) = \langle \alpha_1,...,\alpha_k | r_1,...,r_l\rangle$,

$\pi_1(U_2,*) = \langle \beta_1,...,\beta_m | s_1,...,s_n\rangle$ und

$\pi_1(U_3,*) = \langle \gamma_1,...,\gamma_p | t_1,...,t_q\rangle$,

dann kann die Amalgamierung als

$\pi_1(X,*) = \pi_1(U_1,*) \; *_{\pi_1(U_3,*)} \; \pi_1(U_2,*) = \langle \alpha_1,...,\alpha_k, \beta_1,...,\beta_m | r_1,...,r_l, s_1,...,s_n, u_1(\gamma_1)=u_2(\gamma_1),...,u_1(\gamma_p)=u_2(\gamma_p)\rangle$

präsentiert werden. Die Fundamentalgruppe von X ist also erzeugt von den Schleifen in den Teilräumen U₁ und U₂; als zusätzliche Relationen kommt nur hinzu, dass eine Schleife im Schnitt U₃ unabhängig davon, ob man sie als Element von π₁(U₁, * ) oder von π₁(U₂, * ) auffasst, dasselbe Element repräsentiert.

Beispiel zum Hilfssatz

Man nehme die n-dimensionale Sphäre $S^{n}, n \geq 2$ und Q,P zwei verschiedene Punkte aus Sⁿ. Dann sind $U_1 := S^n \setminus \{P\}$ und $U_2 := S^n \setminus \{Q\}$ wegzusammenhängend. Ihr Durchschnitt ist wegen $n \geq 2$ auch wegzusammenhängend.

Nun ist aber $S^n \setminus \{P\}$, mittels der stereographischen Projektion, homöomorph zu $\mathbb{R}^n$. Da $\mathbb{R}^n$ kontrahierbar ist, gilt dies also auch für U₁ und U₂ und daher haben diese triviale Fundamentalgruppen. Dies ist nicht vom Fußpunkt abhängig. Daher ist auch π₁(Sⁿ) trivial.

Folgerungen

Wenn die Fundamentalgruppe π₁(U₃, * ) trivial ist, dann sagt der Satz von Seifert und van Kampen, dass π₁(X, * ) das freie Produkt von π₁(U₁, * ) und π₁(U₂, * ) ist. Es wird von diesen Gruppen erzeugt und zwischen den Erzeugern gibt es keine Relationen, die nicht schon in π₁(U₁, * ) oder π₁(U₂, * ) gewesen wären. Insbesondere sind u₁ und u₂ injektiv.

Quellen

• Stefan Kühnlein, Skript: Einführung in die Topologie (2008)

Siehe auch

• Sebastian Hage, Seminarvortrag: Der Satz von Seifert-van Kampen – Gruppoide, Pushouts & der Satz von Brown (2004). Enthält einen kategorientheoretischen sowie einen topologischer Beweis des Satzes.