Stabilitätskriterium von Barkhausen

Das Stabilitätskriterium von Barkhausen lieferte eine notwendige, mathematische Bedingung wann eine elektrische Schaltung, bestehend aus einem Verstärker und einer geeigneten Rückkopplung, selbstständig und stabil schwingungsfähig sein kann. In diesem Fall arbeitet diese Schaltung als Oszillatorschaltung und dient der Erzeugung von Sinusschwingungen.

Erste Formulierungen und die Namensgebung gehen auf Heinrich Barkhausen zurück, welcher diese Bedingung in den 1920er Jahren erstmals formulierte und im Dritten Band seines Vierbändigen Werkes Elektronen-Röhren veröffentlichte. Barkhausen veröffentliche zur damaligen Zeit allerdings eine fehlerhafte Version, welche sich teilweise in den Folgejahrzehnten, vor allem in deutschsprachiger Fachliteratur, erhalten hat.^[1]

Kriterium

Verstärker (oben) mit Rückkopplung

Geeignete lineare Verstärker mit einem Verstärkungsfaktor A können durch eine Rückkopplung mit der linearen Übertragungsfunktion β(jω) zur stabilen Schwingung angeregt werden, wenn folgende beide Bedingungen erfüllt sind:

1. Der Betrag der Schleifenverstärkung ist gleich 1, das heißt: $|\beta(\mathrm{j}\omega ) \cdot A| = 1;\,$
2. Die Phasenverschiebung muss bei der Oszillatorfrequenz eine positive Rückkopplung aufweisen. Dies ist dann erfüllt, wenn die Phasenverschiebung ganzzahlige Vielfache von 2π aufweist: $\angle \beta(\mathrm{j}\omega ) \cdot A = 2 \pi n; \qquad n \in 0, 1, 2,\dots\,$

Diese Bedingung ist für die stabile Schwingungserzeugung notwendig aber nicht hinreichend. Dies bedeutet, dass es Schaltungen mit Übertragungsfunktionen gibt, welche das Stabilitätskriterium von Barkhausen erfüllen, aber nicht stabil schwingen. Das Stabilitätskriterium von Nyquist liefert eine notwendige und hinreichende Aussage über die Instabilität des Systems, aber keine Aussage über die Stabilität der Oszillation. Ein allgemeines hinreichendes Stabilitätskriterium für die Erzeugung einer stabilen Oszillation ist nicht bekannt.^[1]

Bei anderen Oszillatortopologien, welche beispielsweise auf der negativen Kennlinie eines Bauelements wie bei dem Relaxationsoszillator basieren, hat das Stabilitätskriterium keinen unmittelbaren Bezug.

Fehlerhafte Formulierung von Barkhausen

Barkhausen ging für die Erzeugung der von ihm als selbsterregter Schwingung bezeichneten Oszillation von der nicht allgemeingültigen Vorstellung aus, dass Stabilität generell bei $|\beta(\mathrm{j}\omega ) \cdot A| < 1\,$ und Instabilität bei (|βA| ≥ 1) vorliegt. Tatsächlich liegt die Notwendigkeit einer stabile Oszillation nur bei (|βA| = 1) vor. Die damalige mathematische Modellbildung war noch nicht so weit vorgeschritten und das Stabilitätskriterium von Nyquist, welche diesen Punkt umfassender klärt, wurde erst einige Jahre später von Harry Nyquist und Felix Strecker formuliert.

Literatur

• Heinrich Barkhausen: Elektronen-Röhren, 3. Band Rückkopplung. 4. Auflage. S.Hirzel, Leipzig 1931.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Barkhausen Stability Criterion, Kent H Lundberg, 14. November 2002, engl.