Untermodul

Der Begriff Untermodul verallgemeinert den Begriff des Untervektorraumes und den Begriff der Untergruppe einer kommutativen Gruppe auf Moduln.

Definition

Sei M ein Rechtsmodul über dem unitären Ring R. Eine Untergruppe (U, + ) von M heißt Untermodul, wenn U abgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation mit Elementen aus R . Das bedeutet: Für alle $u \in U$ und alle $r \in R$ ist $u\cdot r \in U$. Entsprechend wird der Begriff für Linksmoduln erklärt.

Beispiele und weitere Definitionen

• Jeder Modul M besitzt den trivialen Untermodul {0} und den Untermodul M.
• Ist M ein Rechtsmodul und $m \in M$, so ist $m\cdot R:=\{m\cdot r| r \in R\}$ ein Untermodul von M. Es ist der von m erzeugte zyklische Untermodul.
• Ist I ein Rechtsideal in dem Ring R, so ist I ein Untermodul von R als Rechtsmodul.
• Sind U,V Untermoduln von M, so ist $U+V:=\{u+v|u\in U, v\in V\}$ ein Untermodul von M. Es ist der kleinste Untermodul von M, der U und V enthält.
• Ist $(U_i|i \in I)$ eine Familie von Untermoduln, so ist $\bigcap U_i$ ein Untermodul. Es ist der größte Untermodul, der in allen U_i enthalten ist.
• Die Vereinigung von Untermoduln ist im allgemeinen kein Untermodul. So sind $2\cdot\mathbb{Z},3\cdot\mathbb{Z}$ Untermoduln von $\mathbb{Z}$, aber $5= 2+3 \notin 2\cdot \mathbb{Z}\cup 3\cdot\mathbb{Z}$.

Summe von Untermoduln

1. Ist M_R ein Rechtsmodul über dem Ring R und $(U_i |i \in I)$ eine Familie von Untermoduln, so ist $\textstyle \sum_{i\in I} U_{i} =\{\sum_{i\in I_e} u_{i}|I_{e}\, \text{endlich},\ I_{e} \subset I\}$ ein Untermodul. Es ist die Summe der Untermoduln $(U_{i}| i \in I)$.
2. Ist $X \subset M_R$ eine Teilmenge von M_R. Dann ist $\textstyle \bigcap \{V | V\hookrightarrow M, X\subset V\}= \sum_{x\in X} xR$ der kleinste Untermodul von M_R, welcher die Menge X enthält. Ist $\textstyle U_R = \sum_{x\in X} xR$ so erzeugt $\textstyle X$ den Untermodul $\textstyle U$.Man sagt auch $\textstyle X$ ist ein Erzeugendensystem von $\textstyle U$.
3. Wird der Untermodul $U \hookrightarrow M_R$ von einer endlichen Menge X erzeugt, so heißt U endlich erzeugt. Ist die Menge $X=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$, so ist $\textstyle U= \sum_{i=1}^n x_{i}R$.
4. Ein Modul $M_R\neq 0$ heißt einfach, wenn der einzige echte Untermodul {0} ist. Ein Untermodul $U \hookrightarrow M_R$ heißt maximal, wenn für alle $U \hookrightarrow V \hookrightarrow M_R$ gilt: U = V oder V = M_R. Ein Modul $0\neq M_R$ ist genau dann einfach, wenn jeder zyklische Untermodul $0\neq U$ schon gleich M_R ist. Ist $U \subsetneq M_R$ ein echter Untermodul des endlich erzeugten Moduls M_R, so ist U in einem maximalen Untermodul enthalten.^[1]

Direkte Summe von Untermoduln

Es wird der Begriff der inneren direkten Summe von Vektorräumen auf Moduln übertragen. In der Kategorie der Moduln über einem Ring sind die Verhältnisse schwieriger. So hat jeder Vektorraum eine Basis, das bedeutet jeder Vektorraum ist direkte Summe von zyklischen Unterräumen. Dies, unter vielem anderen, ist bei Moduln nicht mehr der Fall.

Definition

Sei $(U_i| i \in I)$ eine Familie von Untermoduln des Rechtsmoduls M und $\textstyle V=\sum_{i \in I} U_{i}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

• Für alle $i \in I$ ist: $\textstyle U_i\cap \sum_{j\neq i}U_j =\{0\}$.
• Für alle endlichen Teilmengen $I_{e} \subset I$ gilt: Ist $\textstyle \sum_{i\in I_e} u_{i}=\sum_{i\in I_e} u'_{i}$, wobei $u_i\in U_i$ für alle $i \in I_e$, so gilt $\textstyle u_{i}=u'_{i}$ für alle $i \in I_{e}$. Jedes $v \in V$ lässt sich daher auf genau eine Weise als Summe von Elementen aus den $\textstyle U_{i}$ darstellen.

Trifft eine — und damit beide Aussagen des Satzes — zu, so heißt V die direkte Summe der U_i. Diese direkte Summe wird mit $\textstyle \bigoplus_{i\in I} U_{i}$ bezeichnet. Der Untermodul $0\neq U_{R} \hookrightarrow M$ heißt direkter Summand von M, wenn es einen Untermodul $V \hookrightarrow M$ gibt mit $U \oplus V = M$. Der Modul M heißt direkt unzerlegbar oder einfach unzerlegbar, wenn er keinen direkten Summanden ungleich {0} hat.

Beispiele

1. Ist V ein Vektorraum über dem Körper Schiefkörper und $\{ x_{i} | i \in I \}$ eine Basis , so ist $\textstyle V=\bigoplus_{i\in I} V_{i}$.
2. Jeder einfache Modul ist direkt unzerlegbar.
3. Ist R ein Integritätsring und K_R sein Quotientenkörper, so ist K_R als Modul über R unzerlegbar.

Besondere Untermoduln

Maximale Untermoduln

Ein Untermodul $U \hookrightarrow M$ heißt maximal, wenn nur M den Untermodul echt enthält ($U \subsetneq M$).

Es ist $U \hookrightarrow M$ maximal genau dann, wenn der Faktormodul M / U einfach ist. Jeder echte Untermodul eines endlich erzeugten Modls ist in einem maximalen Untermodul ^[2]. Das heißt insbesondere hat jeder Ring maximale Ideale. Es gibt aber auch Moduln, die keine maximalen Untermoduln enthalten. So hat keine $\Q$ keine maximalen Untermoduln.

Große Untermoduln

Definition

Für einen Untermodul $U \hookrightarrow M$ sind äquivalent:

• Für alle Untermoduln $V \hookrightarrow M$ mit $U\cap V = \{0\}$ ist V = {0}.
• Zu jedem $0 \neq x\in M$ gibt es ein $r\in R$ mit $0\neq x\cdot r \in U$.

Erfüllt ein Untermodul $U \hookrightarrow M$ eine der äquivalenten Eigenschaften, dann heißt U groß in M. Manchmal wird dies mit $U \trianglelefteq M$ abgekürzt.^[3]

Beispiele

• In $\Q$ als $\Z$-Modul ist jeder Untermodul $\neq \{0\}$ groß.
• Das letzte Beispiel kann verallgemeinert werden. Ist F eine torsionsfreie abelsche Gruppe, so ist eine Untergruppe $U \hookrightarrow F$ groß genau dann, wenn die Faktorgruppe F / U torsionsvoll ist.
• Ist p eine Primzahl und n eine natürliche Zahl größer 1, so ist in $\Z/(p^n\Z)$ jeder Untermodul groß.
• In einem halbeinfachen Modul M ist nur der Modul selber groß in sich.

Eigenschaften

• Ist U groß in M und $U \hookrightarrow V \hookrightarrow M$, so ist V groß in M.
• Ist U groß in V und V groß in W, so ist U groß in W.
• Ist $(V_i| i \in I)$ eine nach oben filtrierende Menge von Untermoduln von M und ist U groß in jedem V_i, so ist U groß in $\cup_i V_i$.
• Sind $(U_i|i \in I), (A_i|i\in I)$ zwei Familien von Untermoduln von M. Ud ist die Summe der A_i direkt, so gilt: Sind alle U_i groß in A_i, so ist $\oplus_i U_i$ groß in $\oplus_i A_i$.
• Ein Untermodul $U \hookrightarrow M$ heißt abgeschlossen , wenn er in keinem echten Obermodul groß ist. Zu jedem Untermodul $U \hookrightarrow M$ gibt es einen abgeschlossenen Untermodul $\overline{U}$, so dass U groß in $\overline{U}$ ist. Es ist $U \trianglelefteq \overline{U} \hookrightarrow M$.
• Sind A,U zwei Untermoduln von M mit $A\cap U = \{0\}$, so gibt es einen Obermodul H von U, welcher maximal bezüglich der Eigenschaft $A \cap H = \{ 0 \}$ ist. Es ist $A \oplus H$ groß in M. Es ist H ein Durchschnittskomplement von A. Ein Durchschnittskomplement ist keineswegs eindeutig bestimmt.
• Ist $A \hookrightarrow M$, so gibt es zu A ein Durchschnittskomplement A' von A. Zu A' gibt es ein Durchschnittskomplement A'' von A', mit $A \hookrightarrow A''$. Es ist A groß in A'' und A'' abgeschlossen in M.

Der Sockel eines Moduls

Ist M ein Modul, so ist der Durchschnitt aller großen Untermoduln gleich der Summe aller einfachen Untermoduln. Dieser Untermodul heißt Sockel von M. Er ist der größte halbeinfache Untermodul von M. Er wird mit So(M) bezeichnet. Ist $f:M\rightarrow N$ ein Homomorphismus zwischen Moduln M,N, so ist $f(So(M)) \hookrightarrow So(N)$. Insbesondere heißt dies, dass der Sockel ein S − Untermodul von M ist, wenn S der Endmorphismenring von M ist. Der Sockel des Ringes R als R Rechtsmoduls ist ein zweiseitiges Ideal. Außerdem ist So(So(M)) = So(M). Der Sockel ist ein idempotentes Präradikal. Er ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist $(A_i|i \in I)$ eine Familie von Untermoduln, deren Summe direkt ist, so ist $So(\oplus_i A_i) =\oplus_i(So (A_i))$.

Kleine Untermoduln

Ein Untermodul $A \hookrightarrow M$ heißt klein in M, wenn für alle $U \hookrightarrow M$ gilt: Ist A + U = M, so ist U = M.

Beispiele

• {0} ist in jedem Obermodul klein.
• In einer freien abelschen Gruppe ist nur der Modul {0} klein.
• In $\Q_\Z$ ist jede endlich erzeugte Untergruppe klein als $\Z$-Untermodul.

Eigenschaften

• Die endliche Summe kleiner Untermoduln ist klein.
• Ist $f\colon M \rightarrow N$ ein Homomorphismus und ist A klein in M, so ist f(A) klein in N.
• Ein zyklischer Untermodul $aR \hookrightarrow M$ ist nicht klein in M genau dann, wenn es einen maximalen Untermodul $U \hookrightarrow M$ gibt, mit $a\notin U$.

Das Radikal eines Moduls

Die Summe aller kleinen Untermoduln von M ist gleich dem Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von M. Dieser Untermodul heißt Radikal von M. Er wird mit $\operatorname{Rad(M)}$ bezeichnet.

Eigenschaften des Radikals

• Ist $f\colon M \rightarrow N$ ein Homomorphismus, so ist $f(\operatorname{Rad}(M)) \hookrightarrow \operatorname{Rad}(N)$(Siehe auch Jacobson-Radikal). Das Radikal ist ein Unterfunktor der Identität. Insbesondere ist $\operatorname{Rad}(R_R)$ ein zweiseitiges Ideal.
• $\operatorname{Rad}(M/\operatorname{Rad}(M)) = \{0\}$. Der kleinste Untermodul C von M mit $\operatorname{Rad}(M/C) = \{0\}$ ist $\operatorname{Rad}(M)$.
• Das Radikal ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist $(M_i|i \in I)$ eine Familie von Moduln, so gilt: $\operatorname{Rad}(\oplus_i M_i)=\oplus_i \operatorname{Rad}(M_i)$.
• $M \cdot \operatorname{Rad}(R_R) \hookrightarrow \operatorname{Rad}(M)$.
• Ist M endlich erzeugt, so ist $\operatorname{Rad}(M)$ klein in M.
• Ist M endlich erzeugt und das Ideal $\mathfrak{a} \hookrightarrow \operatorname{Rad}(R_R)$, dann ist $M\cdot \mathfrak{a}$ klein in M. Dies ist das Lemma von Nakayama.

Einzelnachweise

1. ↑ Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 26 ISBN 3-519-02211-7
2. ↑ Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 34 ISBN 3-519-02211-7
3. ↑ Frank W. Anderson, Kent R. Fuller, " Rings and Categories of Modules", Springer, 1992, Seite 72, ISBN 3-540-97845-3

Literatur

• Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
• Robert Wisbauer Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.