Woodbury-Matrix-Identität

Die Woodbury-Matrix-Identität, benannt nach Max A. Woodbury^[1][2] besagt, dass das Inverse einer Rang-k Korrektur einer Matrix A als eine Rang-k Korrektur von A ^{− 1} ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman-Morrison-Woodbury-Formel oder nur Woodbury-Formel. Doch die Gleichung wurde schon vor Woodburys Bericht erwähnt.^[3]

Die Woodbury-Gleichung lautet^[4]

$\left(A+UCV \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1}+VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1},$

wobei A, U, C und V Matrizen des korrekten Formats bezeichnen. Genauer ist A eine $n \times n$-Matrix , U eine $n \times k$-Matrix, C eine $k \times k$-Matrix und V eine $k \times n$-Matrix.

Im Spezialfall C = 1, wird die Gleichung auch Sherman-Morrison-Formel genannt. Wenn C die Einheitsmatrix I ist, wird die Matrix I + VA ^{− 1}U oft Kapazitäts-Matrix genannt.^[3]

Anwendung

Die Identität ist nützlich in vielen numerischen Berechnungen in denen A⁻¹ bereits berechnet ist und (A + UCV)⁻¹ benötigt wird. Mit der Inversen von A, ist es nur nötig die Inverse C⁻¹ + VA⁻¹U zu berechnen. Wenn C viel kleinere Dimension hat als A, ist das viel effizienter als A + UCV direkt zu invertieren.

Die Formel wird auch in der Herleitung zu speicherplatzeffizienten Darstellungen von Quasi-Newton-Verfahren benutzt.^[5]

Siehe auch

• Reguläre Matrix

Einzelnachweise

1. ↑ Max A. Woodbury, Inverting modified matrices, Memorandum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton, NJ, 1950, 4pp MR38136
2. ↑ Max A. Woodbury, The Stability of Out-Input Matrices. Chicago, Ill., 1949. 5 pp. MR32564
3. ↑ ^{a b} William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31, Nr. 2, 1989, S. 221–239. MR 997457. JSTOR 2030425. doi:10.1137/1031049.
4. ↑ Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd, SIAM 2002, MR 1927606, ISBN 978-0-89871-521-7
5. ↑ Byrd Schnabel: Representations of quasi-Newton matrices and their use in limited memory methods. In: Mathematical Programming. 63, Nr. 1, 1994, S. 129–156.

Weblinks

• Some matrix identities
• Eric W. Weisstein: Woodbury formula. In: MathWorld. (englisch)