Clebsch-Gordon-Koeffizienten

Clebsch-Gordon-Koeffizienten

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten finden ihre Verwendung in der Kopplung quantenmechanischer Drehimpulse. Es handelt sich dabei um Entwicklungskoeffizienten, mit denen man aus der Basis der Einzeldrehimpulse in die Basis des Gesamtdrehimpulses übergeht. Sie werden zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplung sowie im Isospin-Formalismus verwendet.

Sie wurden nach Alfred Clebsch (1833-1872) und Paul Albert Gordan (1837-1912) benannt.

Inhaltsverzeichnis

Drehimpulskopplung

Siehe auch den Abschnitt "Addition von Drehimpulsen" im Artikel Drehimpulsoperator.

Man geht von zwei Drehimpulsen J1 und J2 aus, die jeweils die Quantenzahlen j1 und m1 (z-Komponente), bzw. j2 und m2 besitzen. Dabei nehmen m1 und m2 folgende Werte an: m1 = [ − j1,...,j1] und m2 = [ − j2,...,j2] und die Drehimpulse vertauschen untereinander: [J1,J2] = 0 (s. Quantenmechanischer Kommutator). Das bedeutet, dass man die einzelnen Drehimpulse unabhängig von einander scharf messen kann. Jeder dieser Drehimpulse hat seinen eigenen Eigenraum, der durch die Eigenvektoren \left| j_1, m_1 \right\rangle bzw. \left| j_2, m_2 \right\rangle aufgespannt wird. In der Basis dieser Eigenvektoren \left| j_1, m_1 \right\rangle hat J1 eine einfache diagonale Gestalt; analoges gilt für J2.

Nun koppeln die einzelnen Drehimpulse J1 und J2 zu einem Gesamtdrehimpuls  \vec{J} = \vec{J_1} + \vec{J_2} (Addition der einzelnen Komponenten). Dieser Gesamtdrehimpuls besitzt nun die Quantenzahlen J und M, die folgende Werte annehmen können:

 | j_1 - j_2 | \le J \le | j_1 + j_2 | und M = [ − J,...,J] (in ganzzahligen Schritten).

Da der Gesamtdrehimpuls  \vec{J} aus beiden Drehimpulsen J1 und J2 besteht, kann er im Produktraum der einzelnen Eigenzustände dargestellt werden.

 \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle = \left| j_1, m_1 \right\rangle \otimes  \left| j_2, m_2 \right\rangle

Allerdings sind dies keine Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses  \vec{J} , so dass er in dieser Basis keine Diagonalgestalt besitzt.

Eigenbasis des Gesamtdrehimpulsoperators

Die Eigenvektoren von  \vec{J} werden durch die Quantenzahlen J, M, j1 und j2 eindeutig festgelegt. Bezüglich der neuen Basis aus Eigenvektoren hat der Gesamtdrehimpuls J wieder eine einfache Diagonalgestalt. Es gilt:

 \vec{J}^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = J(J+1) \hbar^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle
 J_z \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = M \hbar \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten geben nun den Übergang der Produktbasis  \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle in die Eigenbasis  \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle an (unitäre Transformation).

 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \sum_{m_1, m_2} \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle

Dabei sind  \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Eigenschaften der Clebsch-Gordan-Koeffizienten

  • Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind gleich Null, wenn eine der beiden Bedingungen |j_{1}-j_{2}|\le J\le j_{1}+j_{2} und M = m1 + m2 nicht erfüllt ist:
\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\neq0\quad\Rightarrow\quad|j_{1}-j_{2}|\le J\le j_{1}+j_{2}\ \ \wedge\ \ M=m_{1}+m_{2}
  • Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind konventionsgemäß reell:
\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\in\mathbb{R}
  • Folgender Clebsch-Gordan-Koeffizient zu M = J ist konventionsgemäß positiv:
\langle j_{1},j_{1};j_{2},J-j_{1}|J,J,j_{1},j_{2}\rangle>0
  • Der Clebsch-Gordan-Koeffizient zu M ist betragsmäßig gleich dem Clebsch-Gordan-Koeffizient zu M gemäß:
\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},-m_{1};j_{2},-m_{2}|J,-M,j_{1},j_{2}\rangle
  • Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen die Orthogonalitätsrelation:
\sum_{m_{1},m_{2}}\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J',M',j_{1},j_{2}\rangle=\delta_{JJ'}\delta_{MM'}
  • Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen die Orthogonalitätsrelation:
\sum_{J,M}\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\langle j_{1},m_{1}';j_{2},m_{2}'|J,M,j_{1},j_{2}\rangle=\delta_{m_{1}m_{1}'}\delta_{m_{2}m_{2}'}

Ermittlung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Der Eigenzustand mit J = j1 + j2 und M = J lässt sich sofort in der Produktbasis angeben (nur ein Clebsch-Gordan-Koeffizient gleich 1, alle anderen Null):

|j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2},j_{1},j_{2}\rangle=|j_{1},j_{1};j_{2},j_{2}\rangle

Durch Anwenden des Absteigeoperators J_{-}=J_{1\, -}+J_{2\, -} erhält man die Zustände |j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle bis |j_{1}+j_{2},-j_{1}-j_{2},j_{1},j_{2}\rangle, also zu J = j1 + j2 alle Zustände mit M = − J,...,J = − j1j2,...,j1 + j2.

Den Zustand |j_{1}+j_{2}-1,j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle erhält man aus der Forderung nach Orthogonalität zu |j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle und der Konvention, dass der Clebsch-Gordan-Koeffizient für M = J positiv ist.

Mit dem Absteigeoperator können zu J = j1 + j2 − 1 wieder alle Zustände mit M = − j1j2 + 1,...,j1 + j2 − 1 erzeugt werden. Dieses Verfahren wird nun iterativ wiederholt bis J = | j1j2 | .

Weblinks

Tabelle mit Beispielen zu bestimmten Werten für j1 und j2 (PDF, 70 kB)

Literatur

  • Wachter, Hoeber: Repetitorium Theoretische Physik. Springer Verlag. ISBN 3540214577

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