Cobb-Douglas-Funktion

Die Cobb-Douglas-Funktion, eine Spezialfunktion der CES-Produktionsfunktion, wird sowohl in der Mikro- und Makroökonomie als auch in der Produktionswirtschaft häufig verwendet. Sie wird sowohl als Nutzen- als auch als Produktionsfunktion eingesetzt.

Geschichte

Die Cobb-Douglas-Funktion basiert auf Erkenntnissen, die Johann Heinrich von Thünen bereits in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts in der Landwirtschaft sammelte. Mit seiner Pro-Kopf-Kapitalertragsfunktion p=hqⁿ mit h als Niveauparameter, p und q als Ertrag bzw. Kapitaleinsatz je Arbeiter und n als Substitutionselastizität des Kapitals hat er die erste indirekt formulierte Cobb-Douglas-Produktionsfunktion entwickelt. Knut Wicksell (1851–1926) gelang es 1913 die Zusammenhänge zwischen Input und Output bei einer vorhandenen Substitutionselastizität als Produktionsfunktion in der heute bekannten Form zu formulieren, die schließlich von den US-amerikanischen Ökonomen Paul Howard Douglas und Charles Wiggins Cobb im Jahre 1928 statistisch nachgewiesen wurde.

Allgemeine Form

$y=c\prod_i x_i^{a_i}$ mit c, a_i > 0

c ist ein Niveauparameter, der bei geeigneter Normierung von y aber verzichtbar ist. Die a_i sind die partiellen Elastizitäten von y bzgl. x_i.

Die Funktion ist homogen vom Grad $\sum a_i$.

Die Funktion wird als Beispiel für Nutzenfunktionen sowie als Produktionsfunktion eingesetzt.

Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Nachfragefunktionen, die aus einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion gewonnen werden, haben die Eigenschaft, dass die Haushalte für die Güter x_i immer einen konstanten Anteil $\frac{a_i}{\sum_j a_j}$ von ihrem Einkommen ausgeben. Es gilt das Gesetz der abnehmenden Grenzrate der Substitution.U(c,g).

Beispiel einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: u(x,y) = x^c * y^d

Im obigen Zwei-Güter-Fall ist die Grenzrate der Substitution $GRS=-\frac{c}{d}\frac{y}{x}$.

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Die Produktionsfunktion nach Cobb und Douglas definiert den Zusammenhang zwischen den Produktionsfaktoren (technischer Fortschritt, Kapitaleinsatz und Arbeitseinsatz) als Input und der damit erzielbaren Produktionsmenge als Output.

$Y = c \cdot K^a \cdot L^b$.

• Y: Produktionsmenge
• c: Nichtkonstanter Faktor. Ist c nicht konstant, sondern wird mit der Zeit größer, dann kann so technischer Fortschritt abgebildet werden. Als Faktor vor der gesamten Produktionsfunktion wie hier bildet c(t) (t = Zeit) Hicks-neutralen technischen Fortschritt ab. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Totaler Faktorproduktivität (TFP).
• K: Kapitalstock
• L: Arbeitseinsatz

Die partiellen Produktionselastizitäten lassen sich als a und b ebenso wie die Skalenelastizität a + b unmittelbar ablesen. Die Elastizitäten geben an, in welchem Maß eine Änderung des Kapitals oder des Arbeitseinsatzes sich auf die Produktionsmenge auswirkt. Abnehmende Grenzproduktivitäten liegen vor, wenn a,b < 1.

Die Exponenten einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion müssen sich nach aktuellen Erkenntnissen nicht immer zu 1 addieren lassen, obwohl dies den Regelfall darstellt (a + b = 1). Werden K und L um einen bestimmten Prozentsatz erhöht, erhöht sich die Ausbringung Y um denselben Prozentsatz.

Linear-homogene Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

In der Abbildung ist eine linear homogene Cobb-Douglas-Produktionsfunktion als "Produktionsgebirge" dargestellt. Die Fläche des Gebirges setzt sich aus Geraden zusammen, die vom Ursprung (0,0,0) ausgehen. Hält man einen Produktionsfaktor konstant und erhöht den anderen Produktionsfaktor, dann erhöht sich auch der Output, aber in immer geringerem Maße, die partielle Grenzproduktivität eines Faktors nimmt mit steigender Einsatzmenge dieses Faktors ab. Die partielle Grenzproduktivität ist die Steigung des Produktionsgebirges, wenn man sich auf ihm senkrecht zur Achse des konstant gehaltenen Produktionsfaktors bewegt.

Bewegt sich die Volkswirtschaft entlang einer "Höhenlinie", dann wird der Einsatz eines Produktionsfaktors durch den des anderen substituiert. Es gilt das Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der technischen Substitution.

Literatur

• Charles W. Cobb, Paul H. Douglas: „A Theory of Production“ in American Economic Review, March 1928 Supplement, Vol. 18 Issue 1, S. 139-165.
• Johann Heinrich von Thünen: Der isolierte Staat in Beziehung auf Landwirtschaft und Nationalökonomie. Dritte Auflage, herausgegeben von H. Schumacher-Zarchlin. Zweiter Theil. II. Abtheilung. Berlin 1875, S. 3.