Dicht (Topologie)


Dicht (Topologie)

Der Begriff der dichten Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raumes ist ein mathematischer Fachbegriff und wird in seiner allgemeinen Form im mathematischen Fachgebiet Topologie definiert. Er wird in vielen Teildisziplinen der Mathematik, etwa der Analysis, der Funktionalanalysis und der Numerik angewandt, zum Beispiel bei der Approximation von stetigen Funktionen durch Polynome.

Man sagt von einer Teilmenge, sie liege dicht in einem metrischen Raum, wenn man jeden Punkt des Gesamtraums beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge approximieren kann. So bilden die rationalen Zahlen \Bbb{Q} eine dichte Teilmenge in der Menge der reellen Zahlen \Bbb{R}. Das bedeutet, dass man irrationale Zahlen beliebig genau durch rationale Brüche beziehungsweise durch endliche Dezimalzahlen approximieren kann. Allgemeiner sagt man von einer Teilmenge A, sie liege dicht in einem topologischen Raum X, wenn jede Umgebung eines beliebigen Punktes x aus X immer auch ein Element aus A enthält.

Ein Spezialfall dieses topologischen Begriffes „dicht“ ergibt sich durch die Anwendung auf geordnete Mengen. Eine Teilmenge S einer streng totalgeordneten Menge (M, < ) heißt dicht (in M), wenn es zu allen x und y aus M mit x < y ein z aus S gibt, so dass x < z < y. Dieser Spezialfall ergibt sich durch die Ordnungstopologie auf M und wird dort näher erläutert. Der vorliegende Artikel behandelt den allgemeineren topologischen Begriff.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei (X,T) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge M liegt dicht in X genau dann, wenn eine der folgenden gleichwertigen Aussagen zutrifft:

  • Der Abschluss von M stimmt mit X überein.
  • Es gibt keine abgeschlossene Teilmenge von X außer X selbst, die M enthält.
  • Jede Umgebung in X enthält einen Punkt aus M.

Beispiele (Topologie)

Zusammenhang mit anderen Begriffen

Ein Raum, der eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt heißt separabel.

Ein komplementäres Konzept ist das der nirgends dichten Mengen, deren Abschluss ein leeres Inneres hat. Ein weiteres verwandtes Konzept ist die Unterscheidung von fetten und mageren Mengen.

Literatur

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6.
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling und Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, 2006, ISBN 3-88538-115-X.

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Topologie Glossar — Dies ist ein Glossar einiger Begriffe, die in dem Bereich der Mathematik vorkommen, der als Topologie bekannt ist. Dieses Glossar besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit allgemeinen Konzepten und der zweite Teil erklärt Typen …   Deutsch Wikipedia

  • Dicht (Mathematik) — Der Begriff der dichten Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raumes ist ein mathematischer Fachbegriff und wird in seiner allgemeinen Form im mathematischen Fachgebiet Topologie definiert. Er wird in vielen Teildisziplinen der Mathematik …   Deutsch Wikipedia

  • Topologie-Glossar — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik zur Löschung vorgeschlagen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Dabei werden Artikel… …   Deutsch Wikipedia

  • Topologie (Mathematik) — Die Topologie (gr. τόπος, tópos, „Ort“, „Platz“ und logie) oder Analysis situs, wie sie früher meistens genannt wurde, ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie ist im Wesentlichen eine Schöpfung des 20. Jahrhunderts und bereits seit Jahrzehnten als …   Deutsch Wikipedia

  • Topologie (Objekt der Mathematik) — Die Topologie (gr. τόπoς tópos „Ort“, „Platz“ und logie) oder Analysis situs, wie sie früher meistens genannt wurde, ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie ist im Wesentlichen eine Schöpfung des 20. Jahrhunderts und trotzdem bereits seit… …   Deutsch Wikipedia

  • Schwach-*-Topologie — Die schwach * Topologie ist eine wichtige Topologie auf dem Dualraum eines normierten (oder allgemeiner lokalkonvexen) Raums. Die Bedeutung beruht u.a. auf dem Satz von Banach Alaoglu, wonach die Einheitskugel im Dualraum bezüglich dieser… …   Deutsch Wikipedia

  • Separabel (Topologie) — Der mathematische Begriff separabel bezeichnet in der Topologie eine Eigenschaft von Räumen, die unter anderem Beweisführungen erleichtern kann. Oft kann man für Sätze über solche Räume auf Beweistechniken wie die Transfinite Induktion verzichten …   Deutsch Wikipedia

  • Adhärenzpunkt — Dies ist ein Glossar einiger Begriffe, die in dem Bereich der Mathematik vorkommen, der als Topologie bekannt ist. Dieses Glossar besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit allgemeinen Konzepten und der zweite Teil erklärt Typen …   Deutsch Wikipedia

  • Abzählbar kompakt — kompakter Raum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Analysis ist Spezialfall von topologischer Raum parakompakter Raum Lindelöf Raum …   Deutsch Wikipedia

  • Folgenkompakt — kompakter Raum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Analysis ist Spezialfall von topologischer Raum parakompakter Raum Lindelöf Raum …   Deutsch Wikipedia