Differenzengleichung

In der Mathematik wird durch eine Differenzengleichung (DzGl) (auch als Rekursionsgleichung bezeichnet) eine Folge rekursiv definiert. Das heißt, dass jedes Folgenglied eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder ist:

$x_n = f(x_{n-1}, x_{n-2}, ..., x_1, x_0) \,$

für natürliche Zahlen n. Eine Spezialform sind die linearen Differenzengleichungen.

Herkunft und Anwendung

In der Ingenieurwissenschaft ist die Differenzengleichung eine Rechenvorschrift zur Berechnung einer Ausgangsfolge respektive eines Ausgangssignals. Im Sinne der Zeitreihenanalyse lässt sich eine Differenzengleichung auch allgemeiner als Gleichung definieren, mit der sich die Werte einer Zeitreihe berechnen lassen, die rekursiv zusammenhängen.

Nach der Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals kann aus der Folge keine Ableitung mehr berechnet werden, man muss sich hier des Differenzenquotienten bedienen. Eine Differenzengleichung ist das zeitdiskrete Pendant zur Differentialgleichung und findet ihre Anwendung vor allem in der digitalen Signalverarbeitung (z. B. im Zusammenhang mit dem Entwurf von Filtern).

Anwendungsbeispiele aus der Zeitreihenanalyse sind die Tilgungsrate eines Annuitätendarlehens (deterministischer Zusammenhang) oder der Bestand an Arbeitslosen (stochastischer Zusammenhang).

Zusammenhang Differenzengleichung und z-Transformation

Die z-Transformation nimmt die gleiche Stellung für zeitdiskrete Signale (Folgen) ein, wie die Laplacetransformation für den kontinuierlichen Zeitbereich.

Vom z-Bildbereich zum Zeitdiskreten

Es gibt hier viele Möglichkeiten: Durch Tabellen, Taylorreihenentwicklung, nichtabbrechende Division u. a. Ein weiteres Hilfsmittel ist

Die Übertragungsfunktion

Ausdrücke in z können sehr einfach mit Hilfe einer Übertragungsfunktion der Variablen und eines Stoßes (im Diskreten) in eine Differenzengleichung übersetzt werden.

Betrachtet man beispielsweise die Funktion

$a(z)=\frac{1 + z^{-1}}{2 + 3z^{-1}}$

dann erhält man als Beziehung zwischen a(z) und 1

$a(z) \cdot ( 2 + 3z^{-1}) = ( 1 + z^{-1} )\cdot 1$

Multipliziert man diese Gleichung aus zu

$2\,a(z) + 3\,a(z) \cdot z^{-1} = 1 \cdot 1 + z^{-1} \cdot 1$

so erhält man mit Hilfe des Verschiebungssatzes

$z^{-N} \cdot u(z)=z^{-N}\sum_i u_i\,z^{-i}=\sum_i u_i\,z^{-i-N}=\sum_k u_{k-N}z^{-k}$ (dabei ist k = i + N)

durch Koeffizientenvergleich im betrachteten Beispiel

$2\,a_k + 3\,a_{k-1} = \delta_{0,k} + \delta_{0,k-1}$.

Eine Lösung dieser Differenzengleichung kann mittels der geometrischen Reihe bestimmt werden, dazu wird der Nenner von a(z) durch Erweitern auf die Form $1+\frac32z^{-1}$ gebracht:

$a(z)=\frac12\cdot\frac{1+z^{-1}}{1+\frac32z^{-1}}=\frac12(1+z^{-1})\sum_{k=0}^\infty (-3z^{-1}/2)^k$

woraus sich

$a_k = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn }k<0\\ \frac{1}{2} & \mbox{wenn }k=0\\ \frac{(-3)^k}{2^{k+1}}+\frac{(-3)^{k-1}}{2^k}=-\frac{(-3)^{k-1}}{2^{k+1}} & \mbox{wenn }k>0 \end{cases}$

ergibt.

Dies ist eine Anwendung der Methode der erzeugenden Funktionen.

Anmerkung: Der diskrete Deltastoß beziehungsweise das Kronecker-Delta δ(k) = δ_0,k hat immer den Wert 0, außer bei k = 0, wo er den Wert 1 annimmt.

Differenzengleichungen in der Ökonomie

In der ökonomischen Theorie kommen Differenzengleichungen vor allem zum Einsatz, um die Entwicklung ökonomischer Größen über die Zeit zu analysieren. Vor allem in der Wachstumstheorie und Konjunkturtheorie werden zeitlicher Abläufe vielmals in Form von Differenzengleichungen abgebildet.^[1]

Man geht dabei davon aus, dass z. B. das Bruttoinlandsprodukt sich auf einem bestimmten Pfad hin zu einem langfristigen Gleichgewicht entwickelt, in dem alle Kapazitäten ausgelastet sind. Je nach Lösung der Differenzengleichung ergibt sich der Entwicklungspfad als asymptotischer Verlauf oder als schwingender Verlauf (in etwa Kosinus-Kurven). Es bleibt aber nicht aus, dass zur mathematischen Modellierung (z. B. beim Bruttoinlandsprodukt) einige vereinfachende Annahmen gemacht werden müssen (z. B. über die Lagerbildung, Konsum als Anteil des BIP oder Investitionssteigerung durch Gewinnerwartung).^[2]

• Anwendung von Differenzengleichung 1. Ordnung

Ein weiteres klassisches Beispiel ist das Spinnwebtheorem (auch cobweb theorem). Die Entwicklung der Preise und Mengen folgt rekursiven Funktionen oder, mathematisch ausgedrückt, allgemeinen Differenzengleichungen erster Ordnung.^[3]

• Anwendung von Differenzengleichung 2. Ordnung

Das Multiplikator-Akzelerator-Modell will erklären, warum das wirtschaftliche Wachstum nicht monoton verläuft, sondern typischerweise einem Konjunkturzyklus folgt. Das Modell lässt sich aus dem Wachstumsmodell von Harrod und Domar heraus entwickeln, eine besondere Variante stammt von Paul A. Samuelson (1939) und John Richard Hicks (1950).^[4]

Siehe auch

• Rekursion
• Lineare Differenzengleichung
• Erzeugende Funktion

Literatur

• Berg, L.: Differenzengleichungen zweiter Ordnung mit Anwendungen, Darmstadt: Steinkopff, 1980.
• Franz Pfuff: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler kompakt, Vieweg+Teubner; Auflage: 1 (26. Februar 2009), ISBN 3834807117, Kapitel 1, Abschnitt § 7 Differenzengleichungen und Finanzmathematik

Einzelnachweise

1. ↑ Differenzengleichung – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon
2. ↑ Einführung in Zeitreihen und Differenzengleichungen – Vortrag, an der Uni Oldenburg (pdf)
3. ↑ Arthur Woll: Allgemeine Volkswirtschaftslehre. Vahlen Franz GmbH; Auflage: 12., 1996, ISBN 3800629739, Seite 111 zur mathematischen Herleitung
4. ↑ Multiplikator-Akzelerator-Modelle – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon

Weblinks

 Wikibooks: Lineare Rekurrenzen, Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen – Lern- und Lehrmaterialien

• 13. Differenzengleichungen – Kapitel über Differenzengleichungen mit mathematischen Beispielen, Uni Greifswald (pdf)