Dirac-Mass


Dirac-Mass

Das Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Mengenmaß der Maßtheorie. Jedem Punkt z\in\Omega wird sein Diracmaß (auch Punktmaß) δz zugeordnet, indem man festlegt, dass jede Menge A\subseteq \Omega das Maß 1 hat, wenn sie den Punkt z enthält, und das Maß 0, wenn sie ihn nicht enthält:

 \delta_z(A) :=
\begin{cases} 
1\ , & \text{falls } z \in A\ , \\ 
0\ , & \mathrm{sonst}\ . 
\end{cases}

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion χ, kann man diesen Sachverhalt auch durch

\,\delta_z(A) = \chi_A(z)

ausdrücken.

Beim Diracmaß δz ist die Einheitsmasse im Punkt z konzentriert. Es lässt sich in jedem messbaren Raum (\Omega,\mathfrak{U}) definieren und macht diesen zum Maßraum (\Omega,\mathfrak{U},\delta_z), sogar zu einem Wahrscheinlichkeitsraum, da die Gesamtmasse δz(Ω) = 1 ist. Daraus folgt trivialerweise, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Integral

Falls z in Ω liegt, gilt

\begin{align}
  \int\limits_\Omega f\,\mathrm d\delta_z = \int\limits_{\{x\in \Omega \mid f(x) \ne f(z)\}}f\,\mathrm d\delta_z + \int\limits_{\{x\in \Omega \mid f(x) = f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z
                              = 0 + f(z)
                              = f(z).
\end{align}

Siehe auch

Literatur

  • Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis, American Mathematical Society, Second Edition, 2001, ISBN 0-8218-2783-9

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