Diskreter Bewertungsring

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra sind diskrete Bewertungsringe gewisse lokale Ringe mit besonders guten Eigenschaften.

Definition: Ein diskreter Bewertungsring ist ein lokaler Hauptidealring, der kein Körper ist. Ein Erzeuger des maximalen Ideals heißt uniformisierendes Element oder kurz Uniformisierendes. Man schreibt auch kurz DVR (für discrete valuation ring) oder DBR.

Eigenschaften

• Ein diskreter Bewertungsring ist ein Dedekindring, insbesondere ein regulärer lokaler Integritätsring.
• Das Spektrum SpecR eines diskreten Bewertungsringes R besteht aus genau zwei Punkten:

Einem abgeschlossenen Punkt, dem speziellen Punkt, zugehörig zum maximalen Ideal (π) (wenn π das uniformisierende Element ist) und einem nicht abgeschlossenen (aber offenen) Punkt, dem generischen Punkt (0).

• Für einen diskreten Bewertungsring R wird durch $Quot(R) \rightarrow \mathbb Z ; \frac{a}{b} \mapsto v_{\pi}(a) - v_{\pi}(b)$ eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper definiert (wenn v_π(a) = n für (a) = (π)ⁿ in R). Diese Bewertung hat R als Bewertungsring.
• Ordnet man einem diskret bewerteten Körper F seinen Bewertungsring $\mathcal O_F$zu und wendet darauf obige Konstruktion an, so erhält man einen diskret bewerteten Körper, der isomorph zu F ist. Mit anderen Worten: Diese Konstruktionen induzieren eine Äquivalenz von Kategorien zwischen diskret bewerteten Körpern und diskreten Bewertungsringen.

Beispiele

• Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen $\mathbb Z_p$ für jede Primzahl p. $\mathbb Z$ ist dicht in $\mathbb Z_p$.
• Der Ring der rationalen Zahlen, die p-adisch ganz sind, für eine Primzahl p
           $\mathbb Z_{(p)}=\left.\left\{\frac zn\,\right| z,n\in\mathbb Z,p\nmid n\right\}$.
  Es ist $\mathbb Z_{(p)}=\mathbb Z_p \cap \mathbb Q$ und $\mathbb Z$ ist dicht in $\mathbb Z_{(p)}$.
• Der Ring der formalen Potenzreihen k[[T]] in einer Unbestimmten über einem Körper k.
• Der Ring der konvergenten Potenzreihen

$\mathbb C\{T\}=\left.\left\{\sum_{i=0}^\infty a_iT^i\,\right|\exists r>0\colon \sum_{i=0}^\infty a_iz^i\ \mathrm{konvergiert\ f\ddot ur}\ |z|<r\right\}\subset\mathbb C[[T]].$

• Der lokale Ring zu einem glatten Punkt einer algebraischen Kurve.