Diskriminante


Diskriminante

Die Diskriminante (lat. discriminare = unterscheiden) ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Am bekanntesten ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Inhaltsverzeichnis

Diskriminante einer quadratischen Gleichung

Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit reellen Koeffizienten a, b und c lassen sich mit der Mitternachtsformel

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}

berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Rechenausdruck unter der Wurzel ab:

  • Für b2 − 4ac > 0 hat die Quadratwurzel in der Lösungsformel einen positiven Wert, sodass es zwei verschiedene reelle Lösungen x1 und x2 gibt.
  • Für b2 − 4ac = 0 hat die Quadratwurzel den Wert 0. Da es keinen Unterschied macht, ob man 0 addiert oder subtrahiert, gibt es trotz des Plus-Minus-Zeichens genau eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2).
  • Für b2 − 4ac < 0 ist die Quadratwurzel der Lösungsformel im Körper der reellen Zahlen (\mathbb{R}) nicht definiert. Es existiert also keine reelle Lösung. Anders sieht die Situation aus, wenn man den Körper der komplexen Zahlen zugrundelegt. In diesem Fall gibt es zwei (nicht-reelle) Lösungen, die zueinander konjugiert komplex sind.

Der Rechenausdruck

D = b^2 - 4 a c\!\,

der beschriebenen Fallunterscheidung, also der Radikand in der Formel, heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0.

Motivation des allgemeinen Diskriminanten-Begriffs

Es sei p_n=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\in\R[x] ein Polynom mit den Nullstellen  x_1,x_2,\dots,x_n, von denen einige möglicherweise komplex sind. Der Ausdruck

(x_1-x_2)(x_1-x_3)\dots(x_2-x_3)(x_2-x_4)\dots(x_3-x_4)\dots(x_{n-1}-x_n)=\prod_{i<j}(x_i-x_j),

der aus {n\choose 2} Faktoren besteht (ein Faktor für jedes Nullstellenpaar), verschwindet genau dann, wenn (mindestens) eine Nullstelle mehrfach auftritt. Der Ausdruck ist nicht symmetrisch in den Nullstellen, d.h. dass sich sein Wert möglicherweise verändert, wenn man die Nullstellen umnummeriert. Die Symmetrie kann man erzwingen, indem man alle Faktoren quadriert:

D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dots(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dots(x_3-x_4)^2\dots(x_{n-1}-x_n)^2.

Dieser Ausdruck Dn ist ein homogenes symmetrisches Polynom vom Grad n(n − 1). Man nennt ihn die Diskriminante des Polynoms pn. (Die Bedeutung des Normierungstermes a_n^{2n-2} wird weiter unten erläutert.)

Beispiele

Quadratisches Polynom

Ein allgemeines Polynom vom Grad 2 hat die Form p2 = ax2 + bx + c mit a\neq0. Seine Diskriminante ist D_2=a^2(x_1-x_2)^2=a^2(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2).

Mit dem Satz von Vieta lässt sie sich umformen in

D_2=a^2\left((x_1+x_2)^2-4x_1x_2\right)=a^2\left(\left(\frac{-b}{a}\right)^2-4\cdot\frac{c}{a}\right)=b^2-4ac.

Das quadratische Polynom p2 hat also genau dann eine doppelte Nullstelle, wenn b2 − 4ac = 0 gilt.

Kubisches Polynom

Ein allgemeines Polynom vom Grad 3 hat die Form p3 = ax3 + bx2 + cx + d mit a\neq 0. Seine Diskriminante ist D3 = a4(x1x2)2(x1x3)2(x2x3)2.

Mit dem Satz von Vieta lässt sie sich (mit aufwendiger Rechnung) umformen in

D3 = b2c2 − 4ac3 − 4b3d + 18abcd − 27a2d2.

Dieser Ausdruck ist unhandlich und lässt sich schwer merken. Berücksichtigt man, dass sich jede kubische Gleichung ax3 + bx2 + cx + d = 0 nach Division durch a und anschließender Substitution y=x+b/3a auf eine Gleichung der Form y3 + 3py + 2q = 0 bringen lässt, so erhält man eine besser merkbare Formel für die Diskriminante: D3 = − 108(p3 + q2)

Ein reduziertes kubisches Polynom p3 = y3 + 3py + 2q besitzt also genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn p3 + q2 = 0 gilt. In Schulbüchern wird häufig dieser Ausdruck als Diskriminante bezeichnet, der Faktor -108 wird also ignoriert.

Polynome höheren Grades

Das oben beschriebene Verfahren funktioniert für Polynome beliebigen Grades. Aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und dem Satz von Vieta folgt, dass der Ausdruck

D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dots(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dots(x_3-x_4)^2\dots(x_{n-1}-x_n)^2.

stets auf eine eindeutige Art als (polynomiale) Funktion der Koeffizienten des Polynoms pn dargestellt werden kann.

Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante

  • Sind alle Nullstellen eines Polynoms reell, so ist die Diskriminante D\ge 0. Das folgt sofort aus der Definition.
  • Für quadratische und kubische Polynome gilt auch die Umkehrung: Ist D\ge 0, so sind alle Nullstellen reell.
  • Das Polynom p4 = x4 + 4 besitzt die vier Nullstellen 1 + i, 1 − i, − 1 + i und − 1 − i. Die Diskriminante hat den Wert 16384, ist also positiv. Dennoch sind die Nullstellen nicht reell.

Normierungsfaktor

In der oben verwendeten Definition tritt der Faktor a_n^{2n-2} auf. Er bewirkt, dass beim Verwenden des Satzes von Vieta die Nenner verschwinden, dass also die Diskriminante als Polynom in den Koeffizienten a_0,a_1,\ldots,a_n erscheint. Je nach Kontext und Verwendungszweck der Diskriminante wird die Definition leicht abgeändert:

  • Anstelle von a_n^{2n-2} wird der Faktor (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-2} gesetzt.
  • Anstelle von a_n^{2n-2} wird der Faktor (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-1} gesetzt.
  • Anstelle von a_n^{2n-2} wird der Faktor a_n^{2n-1} gesetzt.
  • Der Faktor a_n^{2n-2} wird weggelassen.

Bei den ersten drei Varianten ist Vorsicht geboten mit Aussagen, wie sie im Abschnitt “Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante” gemacht werden.

Allgemeine Definition

Sei f=f_0+f_1X+\dots+f_nX^n\in R[X] ein univariates Polynom über einem kommutativen unitären Ring. Die Diskriminante von f ist definiert als die um fn reduzierte Resultante von f mit seiner Ableitung f′:

f_n\operatorname{Disk}(f)=(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname{Res}(f,f').

Die Diskriminante wird auch mit dem Symbol Δ(f) bezeichnet.

Ist R = K ein Körper und fn = 1, so gilt wie oben

\operatorname{Disk}(f)=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2;

dabei seien x_1,\ldots,x_n die Nullstellen von f in einem algebraischen Abschluss von K.

Hinweis: Oft wird die Diskriminante ohne den zusätzlichen Faktor ( − 1)n(n − 1) / 2 definiert; der entsprechende Vorfaktor ist dann in der oben angegebenen Formel zur Berechnung der Diskriminante aus den Nullstellen zu ergänzen.

Bemerkung

Ausgeschrieben ist die Resultante eines Polynoms f(x)=f_0+f_1 x +\dots + f_n x^n mit seiner Ableitung f'(x)=f_1 +\dots + nf_n x^{n-1}gleich der Determinante der (2n-1)\times (2n-1)-Matrix


\begin{pmatrix}
f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots &  0\\
  0 & 0 &  0 & f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 \\
n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 & 0 & \cdots& 0\\
  0 & n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 & \cdots &  0\\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\
  0 & 0 & 0 & n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & n f_{n} & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 \\
\end{pmatrix}
.

Da die erste Spalte aus Vielfachen von fn besteht, kann dieses als Faktor von der Determinante abgespalten werden.

Siehe auch

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