Dynkin-System

Ein Dynkin-System ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin.

Definition

Eine Teilmenge $\mathcal{D}$ der Potenzmenge $\mathcal{P}(\Omega)$ einer nichtleeren Grundmenge Ω heißt Dynkin-System, falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

• Die ganze Grundmenge ist im System enthalten:

$\Omega \in \mathcal{D}.$

• Das System ist abgeschlossen unter relativer Komplementbildung bezüglich Untermengen:

$A,B \in \mathcal{D}, A \subseteq B \implies B \setminus A \in \mathcal{D}.$

• Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer, disjunkter Vereinigungen:

$\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathcal{D}$ disjunkt $\implies\bigcup_{n \in\mathbb{N}} A_{n}\in \mathcal{D}.$

Da $\Omega \in \mathcal{D}$ und $\Omega \supseteq A~~ \forall A \in \mathcal{D}$ folgt automatisch die Abgeschlossenheit unter Komplementbildung:

$A \in \mathcal{D} \implies A^c \in \mathcal{D}$.

Aus $\Omega \in \mathcal{D}$ und der Abgeschlossenheit bezüglich Komplementbildung folgt somit insbesondere, dass auch die leere Menge $\varnothing$ in $\mathcal{D}$ ist.

$\mathcal{D}$-Operator

Das von einer Menge $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ erzeugte Dynkin-System ist

$\mathcal{D}(\mathcal{E}) := \bigcap_{\scriptstyle\mathcal{E} \subset \mathcal{S}\atop\scriptstyle S\text{ Dynkin-System}}\mathcal{S}.$

$\mathcal{E}$ wird als Erzeuger von $\mathcal{D}(\mathcal{E})$ bezeichnet.

$\mathcal{D}(\mathcal{E})$ ist das kleinste Dynkin-System, welches $\mathcal{E}$ enthält.

Zusammenhang mit σ-Algebra

• Ein Dynkin-System $\mathcal{D}$ ist genau dann eine σ-Algebra, wenn es durchschnittsstabil ist.
• Für jede durchschnittsstabile Teilmenge $\mathcal{E}$ von $\mathcal{P}(\Omega)$ gilt, dass das erzeugte Dynkin-System mit der erzeugten σ-Algebra übereinstimmt: $\mathcal{D}(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E})$ (siehe σ-Operator).

Beispiele

• Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System.
• Sei Ω = {1,2,3,4}, dann ist $\mathcal{D}=\mathcal{D}(\{\{1,2\},\{1,3\}\}) = \{\emptyset, \{1,2\},\{1,3\},\{2,4\},\{3,4\},\Omega\}$ ein Dynkin-System, aber keine σ-Algebra, da {{1,2},{1,3}} nicht durchschnittsstabil ist.

Das Dynkin-System-Argument

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei α eine Aussage, die für Mengen $A \subseteq \Omega$ entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei Σ eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger $\mathcal{E}$, für dessen Elemente man α zeigen kann. Betrachte nun das Mengensystem $\mathcal{D} := \{A \in \Sigma : A \text{ erfuellt } \alpha\}$ und zeige, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von $\mathcal{E}$ einerseits $\mathcal{D}(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E})$, andererseits gilt aber auch $\mathcal{E} \subset \mathcal{D} \subset \Sigma$ und damit wegen $\Sigma = \sigma(\mathcal{E}) = \mathcal{D}(\mathcal{E}) \subset \mathcal{D}$ schon $\Sigma = \mathcal{D}$.

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. Walter de Gruyter, Berlin - New York 1992, ISBN 3-11-013626-0

Siehe auch

• Mengensystem
• σ-Algebra