Einheitsmatrix

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus Einsen besteht. Alle anderen Elemente sind 0. Die Einheitsmatrix ist die Darstellung der Identitätsabbildung.

Beispiel:

E = \begin{pmatrix}
1 & 0      & 0  & \cdots & 0 \\
0 & 1      & 0  & \cdots & 0 \\
0 & 0      & 1  &  & 0 \\
\vdots & \vdots &   & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}

Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element unter der Matrizenmultiplikation, d. h. die Multiplikation einer Matrix A mit einer Einheitsmatrix ergibt wieder die Matrix A. Da Matrizen nur miteinander multipliziert werden können, wenn ihre Größen zueinander kompatibel sind, gibt es für jede Größe eine Einheitsmatrix. So ist die Einheitsmatrix der Größe n definiert als Diagonalmatrix mit 1 für alle Elemente der Hauptdiagonale.

Es ist definiert:


E_1 = \begin{pmatrix}
1 \end{pmatrix}
,\ 
E_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}
,\ 
E_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
,\ \cdots ,\ 
E_n = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

Als Schreibweisen sind En (von Einheit) und In (von engl. identity) gebräuchlich. Falls die Dimension irrelevant ist oder aus dem Kontext eindeutig hervorgeht, wird auch häufig auf den Index n verzichtet.

Die Komponenten der Einheitsmatrix lassen sich mit dem so genannten Kronecker-Delta

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
 1 & \mbox{falls } i=j\\
 0 & \mbox{falls } i \neq j
\end{matrix}\right.\quad\mbox{mit }i,j\in\{1,\ldots,n\}

schreiben. Es ist

E_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}},

oft einfach verkürzt zu

E = (δij)i,j.

Die Spalten der Einheitsmatrix sind Einheitsvektoren.

Neutrales Element der allgemeinen linearen Gruppe

Die invertierbaren Matrizen vom Rang n zusammen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung bilden jeweils eine Gruppe, die sogenannte allgemeine lineare Gruppe. Das neutrale Element dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix En. Für alle Matrizen A dieser Gruppe und ihre Inversen A − 1 gelten die folgenden beiden Rechenregeln.

\begin{align}
E_n \cdot A    &= A \cdot E_n    &= A\\
A^{-1} \cdot A &= A \cdot A^{-1} &= E_n
\end{align}

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См. также в других словарях:

  • Einheitsmatrix — Einheitsmatrix,   quadratische Matrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert 1 haben, alle anderen den Wert 0. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element bei der Matrizenmultiplikation …   Universal-Lexikon

  • Einheitsmatrix — vienetinė matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. identity matrix; unit matrix vok. Einheitsmatrix, f rus. единичная матрица, f pranc. matrice unité, f; matrice unitaire, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Einsmatrix — Die Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus Einsen besteht. Alle anderen Elemente sind 0. Die Einheitsmatrix ist die Darstellung der Identitätsabbildung. Beispiel: Die Ein …   Deutsch Wikipedia

  • Identitätsmatrix — Die Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus Einsen besteht. Alle anderen Elemente sind 0. Die Einheitsmatrix ist die Darstellung der Identitätsabbildung. Beispiel: Die Ein …   Deutsch Wikipedia

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  • Invertierbare Matrix — Die reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine quadratische Matrix A, zu der eine weitere Matrix A − 1 existiert, so dass gilt. Dabei ist E… …   Deutsch Wikipedia

  • Kehrmatrix — Die reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine quadratische Matrix A, zu der eine weitere Matrix A − 1 existiert, so dass gilt. Dabei ist E… …   Deutsch Wikipedia


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