Elementare Algebra


Elementare Algebra

Die elementare Algebra ist die grundlegende Form der Algebra. Im Gegensatz zur Arithmetik treten in der elementaren Algebra neben Zahlen und den Grundrechenarten auch Variablen auf. Im Gegensatz zur abstrakten Algebra werden in der elementaren Algebra keine algebraischen Strukturen wie Vektorräume betrachtet.

Variablen

Die Hinzunahme von Variablen zu den Zahlen und den Grundrechenarten von Symbolen hat den Vorteil, dass allgemeine Gesetzmäßigkeiten präzise formuliert werden können. Grundlegende Gesetzmäßigkeiten der reellen Zahlen sind zum Beispiel das Kommutativgesetz oder das Distributivgesetzt. Außerdem kann man mit Variablen Gleichungen aufstellen und diese auf eventuelle Lösbarkeit untersuchen. Ein Beispiel für eine Gleichung ist 3x + 2 = 10. Diese hat im Bereich der rationalen Zahlen genau eine Lösung. Schränkt man die Gleichung auf die ganzen Zahlen ein, hat sie gar keine Lösung. Auch die Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten - beispielsweise man verkauft x Eintrittskarten, dann macht man einen Gewinn von 3x − 10€ - benötigt Variablen.

Angrenzende Begriffe

In der Algebra besteht ein Ausdruck (Term) aus Zahlen, Variablen und arithmetischen Operationen, zum Beispiel x2 − 4. Eine Gleichung besteht aus zwei Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Manche Gleichungen sind erfüllt für alle Werte der beteiligten Variablen (wie beispielsweise a + (b + c) = (a + b) + c), diese nennt man Identitäten. Andere Gleichungen sind nicht für jeden möglichen Wert der Variablen erfüllt, und man ist an den Werten interessiert, für die die Gleichung erfüllt ist - den Lösungen der Gleichung. Zum Beispiel ist die Gleichung x2 − 4 = 0 nur für die Werte 2 und -2 von x erfüllt.

Wie in der Arithmetik ist es auch in der Algebra wichtig, genau zu wissen, wie mathematische Ausdrücke interpretiert werden. Dies wird von den Vorrangregeln der Operationen bestimmt (beispielsweise „Punkt- vor Strichrechnung“, Klammern zuerst ausrechnen).

Es ist auch nötig, Ausdrücke vereinfachen zu können. Zum Beispiel kann der Ausdruck

− 4(2a + 3) − a

auch geschrieben werden als

− 9a − 12.

Wichtige Methoden der Termvereinfachung sind:

Die Gleichungen, die am einfachsten zu lösen sind, sind lineare Gleichungen wie zum Beispiel

2x + 3 = 10.

Die Lösungstechnik besteht hier darin, beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl zu addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren, bis die Variable x auf einer Seite allein steht. Im obigen Beispiel subtrahieren wir 3 von beiden Seiten und erhalten

2x = 7.

Dann teilen wir beide Seiten durch 2 und erhalten die Gleichung

x = 7 / 2,

an der man die Lösung 7/2 ablesen kann.

Gleichungen wie

x2 + 3x = 5

nennt man quadratische Gleichung und kann sie mittels quadratischer Ergänzung oder der so genannten p-q-Formel lösen (siehe dazu Quadratische Ergänzung).

Gleichungen können viele Variablen enthalten, und für manche kann man eindeutige Werte bestimmen, für andere nicht, zum Beispiel

(x - 1) \cdot (x - 1) = y \cdot 0.

Nach ein paar Umformungen können wir schließen, dass x = 1 sein muss, aber y kann jeden Wert annehmen, und die Gleichung ist erfüllt, solange nur x den Wert 1 hat.

Siehe auch


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