Elementargebiet

Elementargebiet

Ein Gebiet D\subseteq\mathbb{C} heißt Elementargebiet (teilweise auch Stammgebiet) genau dann, wenn jede auf D holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf D gilt die Aussage des Integralsatzes von Cauchy.

Charakterisierung

Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet D:

  • D ist einfach zusammenhängend, das heißt, jede geschlossene Kurve in D ist nullhomotop, das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass D keine Löcher hat.
  • D ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder Zyklus in D ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in D.
  • D ist konform äquivalent zu ganz \mathbb{C} oder zur Einheitskreisscheibe \mathbb{E}, das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von D zu \mathbb{C} oder zu \mathbb{E}, vergleiche: riemannscher Abbildungssatz.

Beispiel

Folgende Gebiete sind Elementargebiete:

Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:

  • \mathbb{C}\setminus\{0\}

Literatur

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4

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