Elliptische Integral-Funktion

Elliptische Integral-Funktion

Ein Elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

 \int R \left(x,\sqrt{P(x)} \right) \mathrm dx

wobei R eine rationale Funktion in zwei Variablen und P(x) ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Der Name rührt daher, dass Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs einer Ellipse auftreten. Sie erscheinen auch in der Formel für die Oberfläche eines Ellipsoids.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, doch können sie durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art : \int \frac {\mathrm dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}

II. Art: \int \sqrt {\frac {1 - k^2x^2}{1 - x^2}}\, \mathrm dx

III. Art: \int \frac {\mathrm dx}{(1 + hx^2) \sqrt {(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}

Dabei ist 0 < k < 1. Durch die Substitution  x = \sin\varphi werden diese Integrale auf die Legendre-Form gebracht:

I. Art : \int \frac {\mathrm d\varphi}{\sqrt{1 - k^2(\sin\varphi)^2}}

II. Art: \int \sqrt {1 - k^2(\sin\varphi)^2}\, \mathrm d\varphi

III. Art: \int \frac {\mathrm d\varphi}{(1 + h(\sin\varphi)^2) \sqrt {1 - k^2(\sin\varphi)^2}}

Die zugehörigen bestimmten Integrale mit unterer Integralgrenze 0, nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze π / 2, so spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen. Die Werte dieser Integrale sind tabelliert.

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind in bestimmter Weise den trigonometrischen Funktionen verwandt.

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Elliptische Integrale und Funktionen — Elliptische Integrale und Funktionen. Kommt in einem Integral unter dem Integralzeichen eine Quadratwurzel aus einem Ausdruck 3. oder 4. Grades in x vor, so wird dasselbe als ein elliptisches Integral bezeichnet. Man unterscheidet hierbei drei… …   Lexikon der gesamten Technik

  • elliptische Integrale — ellịptische Integrale,   Integrale vom Typ wobei R eine rationale Funktion in zwei Variablen und P (x) ein Polynom dritten oder vierten Grades in x ohne mehrfache Nullstelle ist. Ein elliptisches Integral ist im Allgemeinen nicht durch… …   Universal-Lexikon

  • Elliptische Funktionen — Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen doppeltperiodische meromorphe Funktionen. „Doppeltperiodisch“ bedeutet, dass es zwei komplexe Zahlen ω1,ω2 gibt, die keine reellen Vielfachen voneinander sind, so dass …   Deutsch Wikipedia

  • Elliptische Funktion — Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen doppeltperiodische meromorphe Funktionen. „Doppeltperiodisch“ bedeutet, dass es zwei komplexe Zahlen ω1,ω2 gibt, die linear unabhängig im reellen Vektorraum sind, so… …   Deutsch Wikipedia

  • Elliptische Integrale — Ein Elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ wobei R eine rationale Funktion in zwei Variablen und P(x) ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Der Name rührt daher, dass Integrale dieser Form bei der… …   Deutsch Wikipedia

  • Rational elliptische Funktionen — Darstellung der rational elliptischen Funktionen zwischen x= 1 und x=1 für die Ordnungen 1,2,3 und 4 mit dem Selektivfaktor ξ=1,1. Die Rational elliptische Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen… …   Deutsch Wikipedia

  • Spezielle Funktion — In der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man gewisse Funktionen als spezielle Funktionen, weil sie sowohl in der Mathematik selbst als auch in ihren Anwendungen (z. B. in der mathematischen Physik) eine tragende Rolle… …   Deutsch Wikipedia

  • Weierstraßsche elliptische Funktion — Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen doppeltperiodische meromorphe Funktionen. „Doppeltperiodisch“ bedeutet, dass es zwei komplexe Zahlen ω1,ω2 gibt, die keine reellen Vielfachen voneinander sind, so dass …   Deutsch Wikipedia

  • Weierstraßsche p-Funktion — Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen doppeltperiodische meromorphe Funktionen. „Doppeltperiodisch“ bedeutet, dass es zwei komplexe Zahlen ω1,ω2 gibt, die keine reellen Vielfachen voneinander sind, so dass …   Deutsch Wikipedia

  • Jacobische elliptische Funktion — In der Mathematik ist eine Jacobische elliptische Funktion eine von zwölf speziellen elliptischen Funktionen. Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben einige Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und finden zahlreiche Anwendungen in… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”