Epigraph (Mathematik)

Epigraph (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion f : X \rightarrow \mathbb{R} die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graphen liegen.

\mathrm{epi}\, f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, f(x)\le \mu \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}

Eigenschaften

Sei X ein normierter \mathbb{R}-Vektorraum. Für Funktionen f : X \rightarrow \mathbb{R} gilt:

  • f ist genau dann konvex, wenn der Epigraph von f eine konvexe Menge bildet.
  • f ist genau dann halbstetig von unten, wenn der Epigraph von f eine abgeschlossene Menge bildet.
  • Ist f eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Epigraph einen Halbraum in X.

Literatur

  • Ralph Tyrell Rockafellar: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton 1997, ISBN 0-691-01586-4

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