Erzwungene Schwingung

Bei einer erzwungenen Schwingung wird das schwingungsfähige System (Oszillator) durch eine äußere Kraft (meist selbst periodisch) angetrieben.

Beispiele

Ein Beispiel ist eine Kinderschaukel, die regelmäßig durch eine Hilfsperson oder durch Gewichtsverlagerung des Schaukelnden selbst angestoßen wird.

Alle mechanischen Uhren führen erzwungene Schwingungen durch. Dabei kommt hier die äußere Kraft von der Hemmung.

Musikinstrumente erzeugen ihren Klang durch erzwungene Schwingungen. Die Erregung erfolgt durch Hämmern, Zupfen oder Streichen bei Saiteninstrumenten, durch Anblasen bei Blasinstrumenten oder durch Anschlagen bei Schlaginstrumenten.

Erzeugung

Fast alle schwingenden Systeme unterliegen einer Dämpfung. Sie benötigen für eine dauerhafte Schwingung mit konstanter Amplitude daher immer einen äußeren Antrieb.

Bei periodischem Antrieb ist es dabei wichtig, dass dieser mit der Eigenfrequenz des Systems erfolgt. Sonst wird nur ein geringer Bruchteil der Energie in das schwingende System übertragen. Weiterhin muss der Energieverlust durch die Dämpfung pro Periode (Verlustleistung) gleich der durch die äußere Kraft eingebrachten Energie (Antriebsleistung) sein. Bei zu starkem Antrieb nimmt die Amplitude der Schwingung stetig zu und es kommt über kurz oder lang zur Zerstörung des Systems durch Überlastung (mechanischer Defekt beziehungsweise Durchbrennen des elektrischen Schwingkreises). Dies bezeichnet man als Resonanzkatastrophe.

Oft erfolgt kein dauerhafter Antrieb. Das System wird also nur einmalig (beispielsweise beim Schlagen einer Trommel) oder über einen beschränkten Zeitraum (beispielsweise beim Streichen mit dem Geigenbogen) angeregt. In diesem Fall durchwandert das schwingende System zunächst den sogenannten Einschwingvorgang, um nach dem Ende des Antriebs als gedämpfte Schwingung abzuklingen.

Ein interessanter Sonderfall ist der „parametrische Oszillator“. Bei ihm wird das System nicht durch eine äußere Kraft direkt angetrieben, sondern die äußere Kraft verändert die Eigenschaften des Systems. So funktioniert beim Beispiel der Kinderschaukel das Schaukeln ohne Einwirkung von Außen. Der Schaukelnde verlagert mit seiner Muskelkraft den Schwerpunkt seines Körpers und verändert somit die effektive Pendellänge. Wenn diese Veränderung jeweils zum richtigen Zeitpunkt periodisch erfolgt, nimmt die Amplitude der Schwingung zu. Mit diesem Verfahren lassen sich mit einfachen Mitteln sehr große Amplituden erreichen.

Mathematische Beschreibung

Die mathematische Behandlung von erzwungenen Schwingungen erfolgt sinnvollerweise durch Fouriertransformation. Je nach Art des Antriebs existieren aber nur in Sonderfällen geschlossene Lösungen.

Eine andere Möglichkeit zur Lösung der Inhomogenität von linearen Differentialgleichungen bietet die Greensche Funktion. Dabei wird die Störkraft (die äußere Kraft) in einzelne, kleine Kraftstöße aufgeteilt (man könnte sie auch als einzelne Hammerschläge bezeichnen) und diese später aufsummiert bzw. integriert. Damit erhält man immer eine partielle Lösung für diese Differentialgleichung, die sich allerdings nicht immer exakt bestimmen lässt, sich aber zumindest auf ein Integral beschränkt, was in der Physik jedoch häufig ausreichend ist.

Es ist auch zu beachten, dass durch die äußeren Kräfte oder Resonanz unter Umständen schnell große Amplituden entstehen können. Dann sind die üblicherweise gewählten linearen Näherungen nicht mehr gültig und die Beschreibung der Systeme wird schwieriger.

Literatur

• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4