Euklidische Norm


Euklidische Norm

Die euklidische Norm ist die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm. Auf dem \R^n entspricht die dadurch definierte Länge der anschaulich natürlichen Länge einer Strecke. Die durch diese Norm induzierte Metrik ist die des euklidischen Raums.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei V ein euklidischer Vektorraum, also ein endlichdimensionaler Vektorraum V über dem Körper der reellen Zahlen zusammen mit einem Skalarprodukt \langle .,.\rangle. Dann ist für alle v \in V die euklidische Norm definiert durch

\|v\| := \sqrt{\langle v, v\rangle}.

Die euklidische Norm erfüllt die Bedingungen einer Norm.

Mit Hilfe der euklidischen Norm definiert man den euklidischen Abstand zweier Punkte x und y des Vektorraums durch

d(x,y) = \|x - y\|.

Da man jeden endlichdimensionalen Vektorraum mit einem Skalarprodukt versehen kann, existiert auf jedem endlichdimensionalen Vektorraum eine euklidische Norm.

Zur Unterscheidung von allgemeineren Normen wird die euklidische Norm auch oft mit einfachen Betragsstrichen notiert: | v | .

Beispiel

Das Standardbeispiel für einen n-dimensionalen euklidischen Vektorraum ist der Koordinatenraum \R^n mit dem Standardskalarprodukt

 \langle v, w\rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \ldots + v_n w_n.

Jeder n-dimensionale euklidische Vektorraum ist zu diesem isometrisch isomorph. Auf diesem Raum ist die euklidische Norm durch

\|v\| = \sqrt{\langle v, v\rangle} = \sqrt{v_1^2 + \ldots + v_n^2}

gegeben. Diese Norm entspricht der 2-Norm und wird deshalb meistens mit \|{\cdot}\|_2 bezeichnet.

Für den euklidischen Abstand zweier Punkte x und y \in \R^n gilt damit

d(x,y) = \|x-y\| = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \dots + (x_n - y_n)^2}.

Bemerkung

Auf dem \R^n wird manchmal nur diese vom Standardskalarprodukt herrührende 2-Norm als „euklidische Norm“ bezeichnet. Im allgemeinen Sinn definiert jedoch jedes Skalarprodukt auf dem \R^n eine euklidische Norm.

Parallelogrammgleichung

Für euklidische Normen gilt die Parallelogrammgleichung:

2\|v\|^2+2\|w\|^2=\|v+w\|^2+\|v-w\|^2

für alle Vektoren v, w \in V.

Umgekehrt gilt nach dem Satz von Jordan-von Neumann: Erfüllt eine Norm \|{\cdot}\| die Parallelogrammgleichung, so ist sie euklidisch, sie wird also von einem Skalarprodukt induziert. Dieses erhält man durch eine Polarisationsformel, zum Beispiel

\langle v, w \rangle = \frac12 \left(\|v+w\|^2 - \|v\|^2 - \|w\|^2\right)

oder

\langle v,w\rangle = {1 \over 4} \left( {\| v+w \|}^2 -{\| v-w \|}^2  \right).

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