Euklidische Werkzeuge


Euklidische Werkzeuge
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Die Konstruktion eines regelmäßigen Sechsecks nur mit Zirkel und Lineal

Die Konstruktion mit Zirkel und Lineal ist in der Geometrie die klassische Methode, um geometrische Figuren aus vorgegebenen Größen zu zeichnen. Verwendet werden dürfen ausschließlich ein Zirkel und ein Lineal. Letzteres hat keine Markierungen; man kann damit also nur Geraden zeichnen, aber keine Strecken abmessen.

Problemlösungen, die auf andere Hilfsmittel zurückgreifen, wurden von den Griechen der klassischen Periode (und auch später von den meisten Geometrietreibenden bis ins 20. Jahrhundert) als nicht zufriedenstellend betrachtet.

Die Beschränkung auf die „euklidischen Werkzeuge“ leitete sich aus den Postulaten ab, die Euklid am Anfang seines Lehrbuches »Die Elemente« zusammengestellt hatte. Daraus ergeben sich als einzige zugelassene Anwendungen dieser Werkzeuge:

  • das Ziehen einer Geraden mit unbeschränkter Länge durch zwei beliebig gegebene, voneinander verschiedene Punkte.
  • das Ziehen eines Kreises, der einen beliebig gegebenen Punkt als Mittelpunkt hat und durch einen beliebig gegebenen anderen Punkt verläuft und
  • das Übertragen bzw. Abschlagen einer Strecke auf einer Geraden oder einer Kreislinie.

Mit diesen Anwendungen sind folgende algebraische Operationen (also die Konstruktion des Ergebnisses auf dem Zahlenstrahl) möglich:

  • die Addition (und Subtraktion) zweier reeller Zahlen;
  • die Multiplikation zweier reeller Zahlen;
  • das Bestimmen der Inversen einer reellen Zahl (ungleich Null) und damit die Division;
  • das Ziehen der Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl.

Eine Reihe von geometrischen Problemen konnte jedoch mit diesen Mitteln nicht gelöst werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken Mathematik:

Der Beweis, dass diese Probleme grundsätzlich nicht mit Zirkel und Lineal zu lösen sind, gelang jedoch erst im 19. Jahrhundert. Dennoch bewirkten die Versuche, das Unmögliche zu vollbringen, eine ganze Reihe von hervorragenden Leistungen. Die Griechen fanden eine Reihe von brillanten Lösungen der »klassischen« Probleme mit anderen Hilfsmitteln, wobei sie viele bemerkenswerte Resultate der höheren Geometrie entdeckten.

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