Eulersche Zahl

Eulersche Zahl

Die eulersche Zahl e = 2,718281828459045235... (nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler) ist eine irrationale und sogar transzendente reelle Zahl.

Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion, die aufgrund dieser Beziehung zur Zahl e häufig kurz e-Funktion genannt wird. In der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) spielt sie eine wichtige Rolle.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Zahl e kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die beiden bekanntesten Darstellungen lauten:

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n   als Grenzwert einer Folge bzw. Funktion (je nachdem, ob man n\in\Bbb N oder n\in\Bbb R voraussetzt) und
e = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots

als Reihe, mit 0! = 1 per Definition.

Mit k! wird dabei die Fakultät von k, also das Produkt der natürlichen Zahlen bis hin zu k, bezeichnet. Beide Darstellungen entsprechen dem Funktionswert exp(1) = e1 der Exponentialfunktion (oder „e-Funktion“) an der Stelle 1; die Reihenschreibweise entspricht zudem der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion um den Punkt null an der Stelle 1 ausgewertet.

Eigenschaften

Die eulersche Zahl e ist eine transzendente (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrationale Zahl (Beweis). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl π nach Ferdinand von Lindemann 1882) weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung endlichen Grades darstellen und besitzt folglich eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung. Das Irrationalitätsmaß von e ist 2 und somit so klein wie möglich für eine irrationale Zahl, insbesondere ist e nicht liouvillesch. Es ist nicht bekannt, ob e zu irgendeiner Basis normal ist.[1]

In der eulerschen Identität

e^{\mathrm i\cdot\pi} = -1

werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: Die ganze Zahl 1, die eulersche Zahl e, die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen und die Kreiszahl π.

Die eulersche Zahl e ist die einzige positive reelle Zahl, für welche gilt:

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = {1}.

Sie tritt auch in der asymptotischen Abschätzung der Fakultät auf (siehe: Stirlingformel)[2]:

 \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \cdot e^{\frac{1}{12n}}.

Herkunft des Symbols e

Der Buchstabe e für diese Zahl wurde zuerst von Euler 1736 in seinem Werk Mechanica benutzt. Es gibt keine Hinweise, dass dies in Anlehnung an seinen Namen geschah, ebenfalls ist unklar, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d'Alemberts Histoire de l'Académie, hat sich e durchgesetzt.

Weitere Darstellungen für die eulersche Zahl

Die eulersche Zahl lässt sich auch durch

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben:

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{!n}.

Eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung

e=\sqrt[1]{\frac{2}{1}}\cdot\sqrt[2]{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots

Die Kettenbruchentwicklung von e weist folgendes Muster auf, das sich bis ins Unendliche fortsetzt:


\begin{align}
e &= [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots] \\
  &= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\dotsb}}}}}}}}
\end{align}

Anschauliche Interpretationen der eulerschen Zahl

Zinseszinsrechnung

Das folgende Beispiel macht die Berechnung der eulerschen Zahl nicht nur anschaulicher, sondern es beschreibt auch die Geschichte der Entdeckung der eulerschen Zahl: Ihre ersten Stellen wurden von Jakob Bernoulli bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung gefunden.

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz p = 100% pro Jahr. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen

Kn = K0(1 + p)n,

wobei K0 das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl der Verzinsungen sind.

In diesem Beispiel sind K0 = 1 und p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder p = 1 / n, wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre

K_1= 1 \cdot(1+1)^1 = 2{,}00.

Bei halbjährlichem Zuschlag hat man p = 1 / 2,

K_2= 1 \cdot(1+1/2)^2 = 2{,}25,

also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (p = 1 / 365) erhält man

K_{365}= 1 \cdot(1+1/365)^{365}= 2{,}714567.

Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für e.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

e ist auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Beispielsweise sei angenommen, dass ein Bäcker für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig gibt und diesen gut durchknetet. Danach enthält statistisch gesehen jedes e-te Brötchen keine Rosine. Die Wahrscheinlichkeit p, dass bei n Brötchen keine der n Rosinen in einem fest gewählten sind, ergibt im Grenzwert für n\to\infty (37-%-Regel):

p = \lim_{n\to\infty}\left(\frac {n-1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac {1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}.

Sonstiges

Weitere Eigenschaften

Die zwei Teilkurven der impliziten Funktion xyyx = 0 schneiden sich im Punkt P(e / e). Mehrdimensionale Verallgemeinerungen dieser Funktion setzen sich im n-dimensionalen Raum aus \tfrac{n^2-n}{2}+1 Teilkurven zusammen, die sich alle in einem Punkt schneiden, dessen Koordinaten sämtlich e betragen. Der Beweis dafür ist nicht leicht zu führen.

Entwicklung der Nachkommastellen von e

Datum Anzahl Mathematiker
1748 23 Leonhard Euler[3]
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1946 808  ?
1949 2.010 John von Neumann (berechnet auf dem ENIAC)
1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench
1981 116.000 Stephen Gary Wozniak (berechnet mithilfe eines Apple II)
1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997 18.199.978 Patrick Demichel
August 1997 20.000.000 Birger Seifert
September 1997 50.000.817 Patrick Demichel
Februar 1999 200.000.579 Sebastian Wedeniwski
Oktober 1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski
21. November 1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon
10. Juli 2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16. Juli 2000 3.221.225.472 Colin Martin & Xavier Gourdon
2. August 2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16. August 2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21. August 2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18. September 2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27. April 2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[4]
6. Mai 2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[5]
20. Februar 2010 500.000.000.000 Alexander Yee[6]
5. Juli 2010 1.000.000.000.000 Shigeru Kondo[7]

Die ersten 200 Nachkommastellen von e

Die Dezimalbruchentwicklung von e mit Nennung der ersten 200 Nachkommastellen lautet:[8]


\begin{align}
e=2{,}&71828\,18284\,59045\,23536\,02874\,71352\,66249\,77572\,47093\,69995 \\
      &95749\,66967\,62772\,40766\,30353\,54759\,45713\,82178\,52516\,64274 \\
      &27466\,39193\,20030\,59921\,81741\,35966\,29043\,57290\,03342\,95260 \\
      &59563\,07381\,32328\,62794\,34907\,63233\,82988\,07531\,95251\,01901 \ldots
\end{align}

Weblinks

 Commons: E (mathematical constant) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Richard George Stoneham: A general arithmetic construction of transcendental non-Liouville normal numbers from rational fractions (PDF-Datei, 692 kB), Acta Arithmetica 16, 1970, S. 239–253
  2. Die Stirling Formel (PDF-Datei), James Stirling: Methodus Differentialis, 1730, S.1
  3. Leonhardo Eulero: Introductio in analysin infinitorum Band 1, Marcus-Michaelis Bousquet & socii, Lausannæ 1748, (lateinisch; „2,71828182845904523536028“ auf S. 90)
  4. English Version of PI WORLD
  5. English Version of PI WORLD
  6. http://numberworld.org/digits/E/
  7. http://numberworld.org/digits/E/
  8. Euler's number to 10,000 digits. Peter Alfeld, Department of Mathematics, University of Utah; genauer siehe bei den Weblinks: Project Gutenberg

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР
Synonyme:

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • eulersche Zahl — 2,718281828459...; Basis des natürlichen Logarithmus; eulersche Konstante; e * * * eulersche Zahl   [nach L. Euler],    1) Mathematik: Bezeichnung für die Zahl e.    2) Strömungslehre: Euler Za …   Universal-Lexikon

  • Eulersche Formel — Veranschaulichung in der komplexen Zahlenebene Dreidimensionale Dar …   Deutsch Wikipedia

  • Eulersche Identität — Veranschaulichung in der komplexen Zahlenebene Die eulersche Identität bezeichnet die Formel und bildet das Bindeglied zwischen trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen. Dabei bezeichnet …   Deutsch Wikipedia

  • Eulersche Relation — Veranschaulichung in der komplexen Zahlenebene Die eulersche Identität bezeichnet die Formel und bildet das Bindeglied zwischen trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen. Dabei bezeichnet …   Deutsch Wikipedia

  • Zahl — Vielheit; Nummer; Ziffer; Nr.; Menge; Kennziffer; Anzahl; Wert * * * Zahl [ts̮a:l], die; , en: 1. Angabe einer Menge, Größe: die Zahl 1 000; zwei Zahlen addieren, zusammenzählen, dividieren, teilen, [voneinander] abziehen, subtrahieren; eine Zah …   Universal-Lexikon

  • Eulersche Zahlen (Begriffsklärung) — Als Eulersche Zahlen nach dem Mathematiker Leonhard Euler werden folgende Zahlen und Zahlenfolgen bezeichnet: Eulersche Zahl e, die Basis des natürlichen Logarithmus Eulersche Zahlen En, Folge ganzer Zahlen Euler Zahlen An,k, Einträge des Euler… …   Deutsch Wikipedia

  • eulersche Konstante — 2,718281828459...; Basis des natürlichen Logarithmus; e; eulersche Zahl * * * eulersche Konstạnte,   Euler Mascheroni Konstante [ maske ; nach L. Euler und L. Mascheroni], mascheronische Konstante, der sich für n → ∞ ergebende …   Universal-Lexikon

  • Zahl — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses… …   Deutsch Wikipedia

  • eulersche Formel — eulersche Fọrmel,   [nach L. Euler], verknüpft die Exponentialfunktion mit den Winkelfunktionen durch die Beziehung   Die eulersche Formel führt auf die eulersche Darstellung einer komplexen Zahl …   Universal-Lexikon

  • eulersche Funktion —   [nach L. Euler], zahlentheoretische Funktion, die zu einer natürlichen Zahl n die Anzahl ϕ (n) der zu n teilerfremden Zahlen k (mit k ≤ n) angibt; z. B. ist ϕ …   Universal-Lexikon

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”