Extensiv (Mathematik)

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Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Definition

Sei $(A,\leq)$ eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

$f\colon\, A \to A$

heißt extensiv, falls gilt:

$a \leq f(a)$ für alle $a \in A$.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

$f(a) \leq a$ für alle $a \in A$.

Beispiele

1. Auf $(A,\leq)$ ist die Identität $\operatorname{id}_A\colon\, a \mapsto a$ extensiv und intensiv, da $a \leq a$ immer gilt.
2. Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung $f: A \rightarrow A$ bereits dann einen Fixpunkt, falls A streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur

• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8. 
• H. Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8. 
• S. Lang: Algebra. Addison-Wesley, 1993.