Faktorring


Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

Ist (\mathcal{R},+,\cdot) ein Ring und \mathcal{I} ein (beidseitiges) Ideal von \mathcal{R}, dann bildet die Menge \mathcal{R}/\mathcal{I} = \left\{a+\mathcal{I}\mid a\in\mathcal{R}\right\} der Äquivalenzklassen modulo \mathcal{I} mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

  • (a+\mathcal{I}) + (b+\mathcal{I}) = (a+b)+\mathcal{I}
  • (a+\mathcal{I}) \cdot (b+\mathcal{I}) = a \cdot b + \mathcal{I}

Diesen Ring nennt man den Faktorring \mathcal{R} modulo \mathcal{I} oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele

  • Die Menge n\Z aller ganzzahligen Vielfachen von n ist ein Ideal in \Z, und der Faktorring \Z/n\Z ist der Restklassenring modulo n.
  • Betrachten wir das Polynom f = X2 + 1 über dem Körper \R der reellen Zahlen, so ist der Faktorring \R[X]/(f) isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von X entspricht dabei der imaginären Einheit i. Rechenbeispiele: Das Polynom X2 liegt wegen X2 = f − 1 in derselben Äquivalenzklasse modulo f wie − 1. Für das Produkt [X+1]\cdot [X+2] ermitteln wir [X+1]\cdot[X+2] = [(X+1)\cdot(X+2)] = [X^2+3X+2] = [3X+1]

Eigenschaften

Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein Primideal, wenn R / I ein Integritätsring ist.

Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein maximales Ideal, wenn R / I ein Körper ist.

Ist K ein Körper und f ein irreduzibles Polynom über K, dann ist (f) ein maximales Ideal in K[T] und deshalb ist L: = K[T] / (f) ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von K, in dem f eine Nullstelle hat (die Restklasse von T). Die Körpererweiterung L / K ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von f überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über L irreduziblen Teilern von f, so erhält man schließlich einen Körper, in dem f in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von f.


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