Fermatscher Polygonalzahlensatz

Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens n n-Eckszahlen (Polygonalzahlen) darstellbar ist. Ein bekannter Spezialfall ist der Vier-Quadrate-Satz, demzufolge jede Zahl als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden kann. Ein Beispiel:

310 = 17² + 4² + 2² + 1² = 289 + 16 + 4 + 1

Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist nach Pierre de Fermat benannt, von dem folgendes Zitat stammt:

Ich war der erste, der den sehr schönen und vollkommen allgemeinen Satz entdeckt hat, dass jede Zahl entweder eine Dreieckszahl oder die Summe von zwei oder drei Dreieckszahlen ist; jede Zahl eine Quadratzahl oder die Summe von zwei, drei oder vier Quadratzahlen ist; entweder eine Fünfeckszahl oder die Summe von zwei, drei, vier oder fünf Fünfeckszahlen; und so weiter bis ins Unendliche, egal ob es ein Frage von Sechsecks-, Siebenecks- oder beliebigen Polygonalzahlen ist. Ich kann den Beweis, der von vielen und abstrusen Mysterien der Zahlen abhängt, hier nicht angeben; deswegen beabsichtige ich diesem Subjekt ein ganzes Buch zu widmen und in diesem Teil arithmetisch erstaunliche Fortschritte gegenüber den vorhergehenden bekannten Grenzen zu erbringen.^[1]

Joseph Louis Lagrange bewies den Spezialfall des Vier-Quadrate-Satzes 1770 und Carl Friedrich Gauß 1796 den Spezialfall für Dreieckszahlen. Der Beweis des vollständigen Satzes gelang jedoch erst Augustin Louis Cauchy im Jahr 1813.

Einzelnachweise

1. ↑ Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 6

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Fermat's Polygonal Number Theorem. In: MathWorld. (englisch)