Fisher-Verteilung

Die F-Verteilung oder Fisher-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Fisher-Snedecor-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable und ergibt sich als Quotient zweier Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen. Sie besitzt zwei unabhängige Freiheitsgrade als Parameter und bildet so selbst eine zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.

Als statistischer Test (F-Test) wird die F-Verteilung verwendet, um festzustellen, ob die Grundgesamtheiten zweier Stichproben in ihrer Varianz wesentlich unterscheiden (Varianzanalyse).

Definition

Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und n

Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung F(m,n), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x|m,n) = m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{\Gamma (\frac{m}{2}+\frac{n}{2})}{\Gamma (\frac{m}{2}) \Gamma (\frac{n}{2})} \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^\frac{m+n}{2}}$

besitzt. Dabei ist mit Γ(x) die Gammafunktion an der Stelle x bezeichnet.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist nur für n > 2 definiert und lautet dann

$\operatorname{E}(X) = \frac{n}{n-2}$.

Varianz

Die Varianz ist nur für n > 4 definiert und lautet dann

$\operatorname{Var}(X) = \frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}$.

Verteilungsfunktion

Die Werte der Verteilung $P(X \leq x) = F(x|m;n)$ werden meist numerisch ermittelt. Man wird sie deshalb meistens einer F-Verteilungstabelle entnehmen. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i.a. nicht notwendig, so dass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:

$F(p;m;n) = \frac{1}{F(1-p;n;m)} \;,$

wobei F(p;m;n) das p-Quantil der F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden bedeutet.

Die F-Verteilung lässt sich geschlossen ausdrücken als

$F(x|m;n)= I(\frac{m\cdot x}{m\cdot x+n},\frac{m}{2},\frac{n}{2}),$

wobei $I(z,a,b)=\frac{1}{B(a,b)}\cdot \int_0^z t^{a-1} (1-t)^{b-1}\mathrm{d}t$ die regularisierte unvollständige Betafunktion darstellt.

Maximum

Für m > 2 nimmt f an der Stelle

$x_{\mathrm{max}}=\frac{n(m-2)}{m(n+2)}$

das Maximum an.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Beta-Verteilung

Wenn $X \sim \operatorname{F}(m,n)$ und $Y=\frac{m X/n}{1+m X/n}$ ist, dann verteilt sich $Y \sim \operatorname{Beta}(m/2,n/2)$

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Aus den $\chi_m^2$ und $\chi_n^2$ Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit m bzw. n Freiheitsgraden lässt sich

$F(m,n)=\frac{\frac{\chi_m^2}{m}}{\frac{\chi_n^2}{n}}$

konstruieren. Dieser Ausdruck ist F-verteilt mit m und n Freiheitsgraden.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung

Für unabhängige Zufallsvariablen $\operatorname{X} \sim \chi^2(\delta, m)$ und $\operatorname{Y} \sim \chi^2(n)$ ist

$Z = \frac{\; \frac{\mathrm{X}}{m} \;}{\frac{\mathrm{Y}}{n}}$

verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung $\operatorname{Z} \sim F(\delta,m,n)$ mit nichtzentralitäts-Parameter δ. Dabei ist χ²(δ,m) eine Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit nichtzentralitäts-Parameter δ und m Freiheitsgraden. Für δ = 0 ergibt sich die zentrale F-Verteilung F(m,n).

Beziehung zur Normalverteilung

Wenn die identischen normalverteilten Zufallsvariablen $X_1^{(1)}, X_2^{(1)}, \dots , X_n^{(1)}$ und $X_1^{(2)}, X_2^{(2)}, \dots , X_n^{(2)}$ die Parameter

$\operatorname{E}(X_{i}^{(1)})=\mu_{1}, \sqrt{\operatorname{Var}(X_{i}^{(1)})}=\sigma_{1}$

$\operatorname{E}(X_{i}^{(2)})=\mu_{2}, \sqrt{\operatorname{Var}(X_{i}^{(2)})}=\sigma_{2}$

mit σ₁ = σ₂ = σ besitzen, dann unterliegt die Zufallsvariable

$Y_{n_{1}-1,n_{2}-1}:=\frac{(n_{2}-1)\sum\limits_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}^{(1)}-\bar{{X}}^{(1)})^{2}} {(n_{1}-1)\sum\limits_{j=1}^{n_{2}}(X_{i}^{(2)}-\bar{{X}}^{(2)})^{2}}$

einer F-Verteilung mit ((n₁ − 1,n₂ − 1)) Freiheitsgraden. Dabei sind

$\bar{X}^{(1)}=\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}X_{i}^{(1)}\quad \bar{X}^{(2)}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}X_{i}^{(2)}$.

Literatur

Hartung, Joachim / Elpelt, Bärbel / Klösener, Karl-Heinz: Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3486249843.

Weblinks

• Statistischer Internetrechner

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli-Verteilung | Binomialverteilung | Kategoriale | Hypergeometrische Verteilung | Rademacher | Zipfsche | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | Negative Binomialverteilung | Erweiterte negative Binomial | Compound Poisson | Diskret uniform | Discrete phase-type | Gauss-Kuzmin | Geometrische | Logarithmische | Parabolisch-fraktale | Poisson | Skellam | Yule-Simon | Zeta

 

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Kumaraswamy | Raised Cosine | Dreiecks | U-quadratisch | Stetige Gleichverteilung | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | F | Fermi-Dirac | Folded Normal | Fréchet | Gamma | Extremwert | Verallgemeinerte inverse Gausssche | Halblogistische | Halbnormale | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | Inverse Chi-Quadrat | Scale Inverse Chi-Quadrat | Inverse Normal | Inverse Gamma | Lévy | Log-normal | Log-logistische | Maxwell-Boltzmann | Maxwell speed | Nakagami | nichtzentrierte Chi-Quadrat | Pareto | Phase-type | Rayleigh | relativistische Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | Shifted Gompertz | Truncated Normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | Exponential Power | Fisher’s z | Fisher-Tippett (Gumbel) | Generalized Hyperbolic | Hyperbolic Secant | Landau | Laplace | Alpha stabile | logistisch | Normal (Gauss) | Normal-inverse Gausssche | Skew normal | Studentsche t | Type-1 Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

 

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
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Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | Generalized Dirichlet | Multivariate Normal | Multivariate Student | Normalskalierte inverse Gamma | Normal-Gamma

Multivariate Matrixverteilungen:
Inverse-Wishart | Matrix Normal | Wishart