Formelsammlung Algebra


Formelsammlung Algebra

Die Formelsammlung zur Algebra ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Inhaltsverzeichnis

Grundrechenarten

Siehe dazu: Formelsammlung Grundrechenarten.

Arithmetische Notation

Es gilt: Punkt- vor Strichrechnung. Das heißt Mal und Geteilt binden stärker als Plus und Minus.

 a + ( b \cdot c ) + d =  a + b \cdot c + d
 ( a \cdot b ) + ( c \cdot d ) = a \cdot b + c \cdot d
 ( a + b ) \cdot ( c + d ) \neq a + b \cdot c + d

Bei Verwendung der Polnischen Notation bzw. der Umgekehrten Polnischen Notation bedarf es keiner Klammerung.

Axiome

 a \cdot \left( b \cdot c \right) = \left( a \cdot b \right) \cdot c
 a + \left( b + c \right) = \left( a + b \right) + c
 a + b = b + a \,
 a \cdot b = b \cdot a
 a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c (linksdistributiv)
 \left( a + b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c (rechtsdistributiv)

Elementare Funktionen

Potenzen

  • Definition Potenzen
a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a =\prod\limits^n_{i=1} a (n Faktoren)
formal (induktiv):
a^n=\begin{cases}
1               & \mathrm{f\ddot ur} \quad n=0 \\
a\cdot a^{n-1}  & \mathrm{f\ddot ur} \quad n \ge 1
\end{cases}
  • Begriffe zu Potenzen
\,a^n (das Ergebnis der Rechnung) ist die Potenz
\,a ist die Basis
\,n ist der Exponent
  • Potenzen mit gleicher Basis
a^x \cdot a^y = a^{x+y}
\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}
  • Potenzieren einer Potenz
({a^x})^y = a^{x \cdot y}
  • Potenzen mit gleichem Exponenten
a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x
\frac{a^x}{b^x} = \left( \frac{a}{b} \right)^x

Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten

Graphen einiger Potenzfunktionen
f(x)=x^n \qquad \text{mit} \qquad n \in \Z


1. n positiv und gerade (\!\,n = 2m; m \in \N^{+})
f(x) = x^{2m} \qquad \text{mit} \qquad D_f = \R
Wertebereich
\!\,W_f = [0; + \infty[
Nullstellen
\!\,x_0 = 0
Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen
\!\,(-1;1), (0;0), (1;1)


2. n positiv und ungerade (\!\,n = 2m + 1; m \in \N^{+})
\!\,f(x)=x^{2m + 1} \qquad \text{mit} \qquad D_f = \R
Wertebereich
\!\,W_f = \R
Nullstellen
\!\,x_0 = 0
Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen
\!\,(-1;-1), (0;0), (1;1)


3. n negativ und gerade (\!\,n = -2m; m \in \N^{+})
\!\,f(x)=x^{-2m} \qquad \text{mit} \qquad D_f = \R \ {0}
Wertebereich
\!\,W_f = ]0; + \infty[
Nullstellen
Diese Funktionen besitzen keine Nullstellen!
Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen
\!\,(-1;1), (1;1)


4. n negativ und ungerade (\!\,n = -(2m-1); m \in \N^{+})
\!\,f(x)=x^{-(2m-1)} \qquad \text{mit} \qquad D_f = \R \ {0}
Wertebereich
\!\,W_f = \R \ {0}
Nullstellen
Diese Funktionen besitzen keine Nullstellen!
Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen
\!\,(-1;-1), (1;1)

Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten (Wurzelfunktionen)

\!\,f(x)=x^n \qquad \text{mit} \qquad n = \frac{p}{q} \qquad (p,q \in \N^{+}, p \ne q)
Definitionsbereich
\!\,D_f = [0, + \infty[
Wertebereich
\!\,W_f = [0, + \infty[
Nullstellen
\!\,x_0 = 0
Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen
\!\,(0;0), (1;1)

Wurzeln

  • Begriffe zu Wurzeln
x = \sqrt[n]{a}
n ist der Wurzelexponent
a ist der Radikand
  • Definition Wurzel
x^n =  a \Leftrightarrow x = \sqrt[n]{a} \qquad \left(a \in \mathbb{R},a \geq 0, n \in \mathbb{N^+}\right)
  • Negativer Radikand und ungerader Exponent
\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\qquad \left(a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N^+}, n=2u-1,u \in \mathbb{N^+}\right)

Für n,m \in \mathbb{N};\,n \geq 2;\, a \in \mathbb{R};\, a,\,b>0 gelten folgende Regeln

  • \sqrt[n]{a} =  a^\frac{1}{n}
  • \sqrt[n]{a ^m} =  ({\sqrt[n]{a}}) ^m = a^\frac{m}{n}
  • \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}
  • {{ \sqrt[n]{a}} \over {\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{a \over b}
  •  \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[n \cdot m]{a}
  •  \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[n \cdot m]{a^{n+m}}
  • \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a^{m-n}}

und die Regeln können auf n,m\in\mathbb{R} erweitert werden.

Logarithmus

  • Definition des Logarithmus zur Basis b
x = \log_b a \Leftrightarrow a = b^x
  • Logarithmus-Gesetze
  1. \log_x ( a \cdot b) = \log_x a + \log_x b
  2. \log_x \left( \frac{a}{b} \right) = \log_x a - \log_x b
  3. \log_x \left( a^b \right) = b \cdot \log_x a
  • Basiswechsel
  1. \log_b a = c \Longleftrightarrow c = \frac{\log_x a}{\log_x b}

Logarithmusfunktionen

f(x) = \log_a x \qquad \text{mit} \qquad a \in \R, a > 0, a \ne 1
Definitionsbereich
\!\,D_f = ]0, + \infty[
Wertebereich
\!\,W_f = \R
Nullstellen
\!\,x_0 = 1
Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen
\!\,(1;0)
Spezialfälle
\!\,f(x) = \log_{10} x = \lg x
\!\,f(x) = \log_e x = \ln x
\!\,f(x) = \log_2 x = \operatorname{lb} x

Exponentialfunktionen

\!\,f(x)=a^x \qquad \text{mit} \qquad a \in \R, a > 0, a \ne 1
Definitionsbereich
\!\,D_f = \R
Wertebereich
\!\,W_f = ]0, + \infty[
Nullstellen
Diese Funktionen besitzen keine Nullstellen!
Gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen
\!\,(0;1)
Spezialfall
\!\,f(x) = e^x

Gesetze der Anordnung

Betrag, Signum, Gaußklammer

Betrag:

|x|:=
\begin{cases}
\;\;\,x & \mathrm{f\ddot ur} \quad x>0 \\
\;\;\,0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x=0 \\
     -x & \mathrm{f\ddot ur} \quad x<0 \\
\end{cases}

Signum:

\sgn(x):=
\begin{cases}
\;\;\,1 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x>0 \\
\;\;\,0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x=0 \\
     -1 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x<0 \\
\end{cases}

Das Signum einer komplexen Zahl ≠ 0 ist gleich die Zahl geteilt durch ihren Betrag, also sign(z)=z/|z|.

Also gilt: x = \sgn(x) \cdot |x|

Die Gaußklammer einer (reellen) Zahl ist die größte ganze Zahl, die kleiner als die Zahl selbst ist.

Termumformungen

8 - (2 − a + b)

Hier ist die „Minusklammer“ zu beachten. Minusklammer heißt, dass vor der Klammer ein Minus (-) steht. Somit müssen alle Werte in der Klammer mit (−1) multipliziert werden.

= 8 + (2·(−1) − a·(−1) + b·(−1)) = 8 - 2 + ab = 6 + ab

Generell dürfen bei einer Gleichung folgende Termumformungen durchgeführt werden

  • Addition (und folglich auch Subtraktion) derselben Zahl oder Variablen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens
  • Multiplikation (und folglich auch Division) derselben Zahl ungleich Null auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens

sowie

  • Klammern auflösen
  • Seiten vertauschen
  • Summanden vertauschen

jeweils auf einer Seite der Gleichung.

Beispiel:

3(2x-1) + 2 = x | Klammer auflösen (Distributivgesetz)

6x - 3 + 2 = x | Zusammenfassen
6x - 1 = x | - 6x
- 1 = -5x | :(-5)
1/5 = x

Grundlegende Funktionen

Definition

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet:

f\colon D\to Z oder
f\colon x\mapsto y

Gerade Funktion

\!\,f(x) = f(-x) \qquad \mathrm{f\ddot ur\ jedes} \quad x \in D_f
Der Graph liegt somit symmetrisch zur y-Achse!

Ungerade Funktion

\!\,f(x) = -f(-x) \qquad \mathrm{f\ddot ur\ jedes} \quad x \in D_f
Der Graph liegt somit zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung!

Lineare Funktionen

Geraden - Graphen der Linearen Funktion
\!\,f(x) = m x + n  \qquad \text{mit} \qquad a \ne 0 und D_F = \R


Wertebereich
\!\,W_f = \R
Nullstellen
\!\,x_0=-\frac{n}{m}
Schnittpunkte mit der y-Achse
\!\,S(0;n)
Anstieg
\!\,m=\tan{\alpha}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
\!\,\alpha \rightarrow Schnittwinkel des Graphen mit der x-Achse
\!\,m > 0 \rightarrow steigende Gerade
\!\,m < 0 \rightarrow fallende Gerade

Lineare Gleichungssysteme

Ein System aus \!\,m linearen Gleichungen mit \!\,n Variablen \!\,x_1, x_2, x_3, \dots, x_n wird lineares Gleichungssystem genannt.

Jedes derartige Gleichungssystem lässt sich in folgender Form darstellen:

\begin{matrix}
 a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & a_{13}x_3 & + & \dots & + & a_{1n}x_n & = b_1\\
 a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & a_{23}x_3 & + & \dots & + & a_{2n}x_n & = b_2\\
 a_{31}x_1 & + & a_{32}x_2 & + & a_{33}x_3 & + & \dots & + & a_{3n}x_n & = b_3\\
 \vdots    &   &           &   &           &   &       &   &           & \vdots\\
 a_{m1}x_1 & + & a_{m2}x_2 & + & a_{m3}x_3 & + & \dots & + & a_{mn}x_n & = b_m\\
\end{matrix}

Homogene und Inhomogene Systeme

Ein Lineares Gleichungssystem, bei dem alle Konstanten \!\,b_i (Absolutglieder) den Wert \!\,0 haben, heißt homogen.

Sind nicht alle Absolutglieder gleich \!\,0, so wird das System inhomogen genannt.

Gleichsetzungsverfahren

Bei dem Gleichsetzungsverfahren zum Lösen von Linearen Gleichungssysteme werden die einzelnen Gleichungen zunächst zu einer gemeinsamen Variable umgeformt und dann gleichgesetzt:

\!\,\begin{matrix}
(1) & x +     y & = & 3\\
(2) & x \cdot y & = & 2\\
\end{matrix}

Diese beiden Gleichungen werden nun nach \!\,x umgestellt:

\!\,\begin{matrix}
(1') & x & = & 3 - y\\
(2') & x & = & 2 : y\\
\end{matrix}

Nun kann man diese beiden Gleichungen gleichsetzen, da sie von ihren Werten her identisch sind (\!\,x=x):

\begin{align}
       3 - y  &= 2:y          &|\,& \cdot y\\
 y ( 3 - y )  &= 2            &|\,& \mathrm{Klammer aufl\ddot osen.} \\
     3y - y^2 &= 2            &|\,& - 3y\\
        - y^2 &= 2 - 3y       &|\,& + y^2\\
           0  &= y^2 - 3y +2  &|\,& \text{Quadratische Gleichung in der Normalform} \rightarrow \mathrm{L\ddot osen.}\\
          y_1 &= 1            & &\\
          y_2 &= 2            & &
\end{align}

Hierbei erhält man zwei Lösungen, was darauf hinweist, dass das System zwei Lösungen hat. Diese Lösungen setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (bzw. deren umgestellte Variante) ein und erhält jeweils die Variable x dazu:

\!\,\begin{align}
y_1: & x_1 &=& 3 - y_1\\
     & x_1 &=& 3 - 1\\
     & x_1 &=& 2\\
y_2: & x_2 &=& 3 - y_2\\
     & x_2 &=& 3 - 2\\
     & x_2 &=& 1\\
\end{align}

Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen:

\!\,\mathbb{L} = \{(1\,|\,2), (2\,|\,1)\}

Additionsverfahren

Wie der Name schon im Ansatz verrät, werden mit Hilfe des Additionsverfahren Gleichungen addiert. Dies geschieht in der Regel so, dass eine oder gleich mehrere Variablen in den Gleichungen eliminiert werden:

\begin{matrix}
(1) & 5x & + & 3y & = & 5\\ 
(2) & 3x & + &  y & = & -1
\end{matrix}

Dazu muss eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass bei einer Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwindet. In diesem Beispiel multiplizieren wir dazu Gleichung (2) auf beiden Seiten mit \!\,-3:

\!\,(2) \quad 3x + y = -1 | \cdot (-3)

Dadurch erhalten wir ein gleichwertiges Gleichungssystem, in dem der Term \!\,-3y vorkommt:

\begin{matrix}
(1) &  5x & + & 3y & = & 5 \\
(2') & -9x & - & 3y & = & 3
\end{matrix}

Nun werden beide Gleichungen des Systems addiert und somit in einer Gleichung zusammengefasst:

\begin{matrix}
(5x +  3y) & + & (-9x - 3y) & = & 5 + 3 \\
 5x - 9x   & + &   3y - 3y  & = & 8 \\
    - 4x   & + &      0y    & = & 8 \\
     -4x   &   &            & = & 8
\end{matrix}

Anschließend wird nach der verbliebenen Variablen \!\,x aufgelöst:

\begin{matrix}
-4x & = & 8 & | \div (-4) \\
x   & = & -2&
\end{matrix}
\begin{matrix}
5 \cdot (-2) & + & 3y & = & 5 \\
-10          & + & 3y & = & 5  &|& +    & 10 \\
             &   & 3y & = & 15 &|& \div & 3  \\
             &   &  y & = & 5
\end{matrix}

Dadurch erhalten wir die Lösungsmenge: \!\,\mathbb{L} = \{(-2\,|\,5)\}. Damit ist der Wert der ersten Variable bekannt. Diesen Wert (\!\,x = -2) setzen wir in Gleichung (1) ein, um den Wert der zweiten Variable zu berechnen:

Einsetzungsverfahren

Die Idee hinter dem Einsetzungsverfahren ist folgende: Man löst eine der Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt diese Variable dann in die anderen Gleichungen ein. Dadurch wird eine Variable eliminiert.

Bei einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht man so vor:

  1. Schritt 1: Auflösung einer Gleichung nach einer Variablen
  2. Schritt 2: Einsetzen dieser Variablen in die anderen Gleichung
  3. Schritt 3: Auflösen der im Schritt 2 erhaltenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen
  4. Schritt 4: Einsetzen der Lösung in die nach Schritt 1 umgeformten Gleichung

Gegeben ist folgendes Gleichungssystem:

\begin{matrix}
(1) & 12x & - & 5y & = & 29\\
(2) & 18x & + & 2y & = & 34
\end{matrix}

Schritt 1:

Eine der beiden Gleichungen muss nach x oder y aufgelöst werden. In diesem Beispiel wird die 2. Gleichung nach y aufgelöst.

\begin{matrix}
(2) & 18x & + & 2y & = & 34       & |&-18x \\
(2) &     &   & 2y & = & 34 - 18x & |&:2 \\
(2) &     &   &  y & = & 17 - 9x 
\end{matrix}

Schritt 2:

Danach können wir in der ersten Gleichung das y durch den Term (17 − 9x) ersetzen und bekommen dann:

\begin{matrix}
(2 \text{ in } 1) & 12x & - & 5 \cdot (17 - 9x) & = & 29
\end{matrix}

Schritt 3:

Diese Gleichung können wir nun nach x auflösen.

\begin{matrix}
12x  -  5 \cdot (17 - 9x) & = & 29  & |&\mathrm{Klammer aufl\ddot osen} \\
12x  -  85 + 45x      & = & 29  & |&\text{zusammenfassen}   \\
57x  -  85            & = & 29  & |&+85 \\
57x                   & = & 114 & |&:57 \\
                    x & =  & 2
\end{matrix}

Schritt 4:

Die Lösung x = 2 wird in die umgestellte Gleichung (2) eingesetzt:

\begin{matrix}
x = 2 \text{ in (2) einsetzen:} & y & = &  17 - 9 \cdot 2\\ 
                                & y & = & -1
\end{matrix}

Die Lösungsmenge ist somit: \mathbb{L}=\{(2|-1)\}.

Quadratische Gleichungen

Allgemeine Form

\!\,f(x) = a x^2 + b x + c \qquad \text{mit} \qquad a \ne 0 und D_F = \R


Wertebereich
\!\,W_f = \left[\frac{4ac-b^2}{4a};+\infty\right[ \qquad \mathrm{f\ddot ur}\quad a>0
\!\,W_f = \left]-\infty;\frac{4ac-b^2}{4a}\right] \qquad \mathrm{f\ddot ur}\quad a<0
Nullstellen
\!\,x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}
\!\,b^2 - 4ac > 0 \rightarrow zwei verschiedene Nullstellen
\!\,b^2 - 4ac = 0 \rightarrow genau eine (Doppel-)Nullstelle
\!\,b^2 - 4ac < 0 \rightarrow keine reelle Nullstelle
Scheitelpunkte
S\left(-\frac{p}{2}; -\frac{p^2}{4} + q\right)

Normalform

f(x) = x^2 + p x + q = 0 \qquad \text{mit} \left( p, q = \mathrm{const.} \right)


Lösungen
x_{1,2}= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{ \left( \frac{p}{2} \right) ^2} - q} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}
\left( \frac{p}{2} \right) ^2 - q > 0 \rightarrow zwei verschiedene Nullstellen
\left( \frac{p}{2} \right) ^2 - q = 0 \rightarrow genau eine (Doppel-)Nullstelle
\left( \frac{p}{2} \right) ^2 - q < 0 \rightarrow keine reelle Nullstelle
Zerlegung in Linearfaktoren
x^2 + px + q = (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0
Satz von Vieta
p = -(x_1 + x_2) \qquad q = x_1 \cdot x_2

Gleichungen n-ten Grades

\!\,P_n(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 = 0


Lösungen (Nullstellen)
\!\,x_1; x_2; x_3; \dots; x_n
Zerlegung in Linearfaktoren
\!\,P_n(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 = a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdot \dots \cdot(x - x_n) = 0
Lösungsverfahren
Ist \!\,x_1 eine durch Probieren gefundene Nullstelle, so kann \!\,P_n(x) mittels Polynomdivision ohne Rest durch \!\,(x-x_1) dividiert werden. Man erhält dadurch eine Gleichung (ein Polynom) (\!\,n-1)-ten Grades und es gilt: \!\,P_n(x)=(x-x_1) \cdot P_{n-1}(x).
Fundamentalsatz der Algebra
Sei n der Grad (also die höchste vorkommende Potenz der Lösungsvariablen x) der Gleichung. Werden mehrfache Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt, hat die Gleichung n (komplexe) Nullstellen.

Polynome n-ten Grades

Polynomdivision

Aufspaltung des Quotienten der Polynome \;p(x)\in \mathrm{P}^n,\ q(x)\neq 0 wie folgt:

\frac{p(x)}{q(x)} = s(x) + \frac{r(x)}{q(x)}

Damit s(x) \neq 0 ist und damit die Polynomdivision sinnvoll ist, muss für den Grad der Polynome gelten:

\operatorname{Grad}\ p\ge\operatorname{Grad}\ q.

Nun wird \;p(x) schrittweise dividiert (\;p_0(x) := p(x)):

  1. \;s_i(x) wird so gewählt, dass \;(s_i(x) q(x))_n = (p_i(x))_n, dass also die Koeffizienten der höchsten in p vorkommenden Potenz gleich sind.
  2. \;p_{i+1}(x) := p_i(x) - q_i(x) s(x)
  3. Gilt \operatorname{Grad}\ q(x) > \operatorname{Grad}\ p_{i+1}(x), so wird abgebrochen.
  4. i wird inkrementiert und die Schleife erneut durchlaufen

Nach Abbruch gilt

  • s(x) = \sum_{k=1}^i s_k(x)
  • \;r(x) = p_{i+1}(x)

Horner-Schema

Mit dem Hornerschema lässt sich die Berechnung von Funktionswerten für ein Polynom vereinfachen. Beispiel:

f(x): = x2 − 2x − 8

Dazu legt man eine Tabelle an. Die Anzahl der Zeilen ist drei, die der Spalten um zwei größer als der Grad des Polynoms (für das Beispiel also vier Spalten). Die Koeffizienten schreibt man, von der zweiten Spalte beginnend, in die erste Zeile. Den x-Wert schreibt man in die erste Spalte der zweiten Zeile. Beginnend mit der zweiten Spalte werden die oberen beiden Zahlen addiert. Der Faktor der zweiten Zeile der nächsten Spalte ergibt sich aus der Multiplikation der voranstehenden Summe mit dem x-Wert. Kurz: Senkrecht wird summiert, schräg wird multipliziert. Der Funktionswert befindet sich zum Schluss in der dritten Zeile der letzten Spalte.

Beispiel für f( − 2):

      1  −2  −8
x=−2     −2   8
---------------
      1  −4   0

Sollte der Funktionswert, wie hier, Null sein, sind die restlichen Zahlen in der letzten Zeile das Ergebnis der Polynomdivision der Funktion durch x minus den Wert, hier x − ( − 2): f(x) = (x − 4)(x + 2)

Mittelwerte

\frac{a + b}{2}
allgemeiner Ansatz:
\bar x = \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n x_i
\sqrt{a \cdot b}
allgemeiner Ansatz:
\bar x = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}
Der Wert, welcher in einer geordneten Liste genau in der Mitte steht, bzw. bei zwei Werten in der Mitte das arithmetische Mittel dieser.
z. B.: 1, 2, 3 \rightarrow Zentralwert = 2
z. B.: 1, 2, 3, 4 \rightarrow Zentralwert = (2+3)/2 = 2,5

Komplexe Zahlen

Definition

\mathrm{i}^2 := -1 \,
z=a+b\cdot \mathrm{i}\, mit a,b \in \mathbb{R}

a wird als Realteil und b als Imaginärteil bezeichnet.

Komplexe Konjugation

Dreht man das Vorzeichen des Imaginärteils b einer komplexen Zahl z = a+b\,\mathrm{i} um, so erhält man die zu z konjugiert komplexe Zahl \bar z=a-b\,\mathrm{i} (manchmal auch z * geschrieben).

Polarform und Exponentialform

Polarform
z=r \cdot \cos (\varphi) + \mathrm{i} \cdot r  \cdot \sin(\varphi)
z=r \cdot (\cos (\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))
Exponentialform
z=r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}

r wird als Betrag und \varphi wird als Argument von z bezeichnet. (genauere Erklärung unter Komplexe Zahl)

Umrechnungsformeln

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}   ;

für z\neq 0 wird das Argument wie folgt bestimmt:

\varphi =  \begin{cases}\arctan\frac{b}{a}&\mathrm{f\ddot ur}\ a>0\\
\arctan\frac ba+\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b\geq0\\
\arctan\frac ba-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b<0\\
\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b>0\\
-\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b<0
\end{cases}

oder

\varphi =\begin{cases}\arccos\frac ar&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq0\\
\arccos\left(-\frac ar\right)-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ b<0
\end{cases}


Rechenregeln

Addition \qquad(a + \mathrm ib) + (x + \mathrm iy) \,=\, (a + x) + \mathrm i(b + y)
Subtraktion \qquad(a + \mathrm ib) - (x + \mathrm iy) \,=\, (a - x) + \mathrm i(b - y)
Multiplikation \qquad(a + \mathrm ib)\cdot(x + \mathrm iy) \,=\, ax - by + \mathrm i(ay + bx)
Division \qquad(a + \mathrm ib):(x + \mathrm iy) \,=\, \frac{ax + by}{x^2 + y^2} + \mathrm i\,\frac{bx - ay}{x^2 + y^2}\quad , \quad x^2+y^2 \, \not= \,0
Quadratwurzel \sqrt{a + \mathrm ib} \,=\, \pm \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} + \mathrm i\frac{b}{\sqrt{2(a + \sqrt{a^2 + b^2})}}\right)

Vollständige Induktion

Zu beweisen ist eine Behauptung P für alle Natürlichen Zahlen, die größergleich sind als N

 P(n) \mid \forall n \in \mathbb{N} \, n \ge N

  1. Induktionsanfang: Man beweise P zunächst für n = N
  2. Induktionsschritt: Man zeige, dass P(n+1) aus P(n) folgt.

Bemerkung: Im Regelfall will man P(n) für alle Natürlichen Zahlen zeigen, damit ist N=1 und der Induktionsanfang ist für n=1 zu beweisen

Kombinatorik

Fakultät

n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n = \prod_{i=1}^{n} i
0! = 1

Die Fakultät von 0 ist als 1 definiert, da ein leeres Produkt vorliegt.

Fakultäten für nichtnatürliche Zahlen (negative/gebrochene/komplexe) Zahlen sind nicht definiert, als Ersatz kann die Gammafunktion dienen.

Binomialkoeffizient („n über k“)

{n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}

Binomischer Satz/Pascalsches Dreieck

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
k = 0 \dots n
(a+b)^n = {n \choose 0}a^{n} + {n \choose 1}a^{n-1}b + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \dots + {n \choose n-1}ab^{n-1} + {n \choose n}b^n
= \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k} b^k

Schreibt man die Koeffitienten von (a + b)n zeilenweise, d. h. die von (a + b)n in Zeile n, erhält man das Pascalsche Dreieck. n über k ist daher die k-te Zahl in der n-ten Reihe dieses Zahlendreiecks.

Stirlingsche Näherungsformel

n! \approx \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \sqrt{2 \pi n}

N. b.
 : Der Relative Fehler \frac{\epsilon}{n!} ist bei großem n klein. Das gilt nicht notwendigerweise für den absoluten Fehler. Es gilt: n! = \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \sqrt{2 \pi n} \cdot \left[1 + \mathcal{O}(1/n)\right]

Summenformeln

Hintergrundinformation in den Artikeln Summe und Reihe. Erklärungen zum Summenzeichen ebenfalls im Artikel Summe.

Rechenregeln

 \sum_{i=1}^{n}c = n \cdot c (Summation über n konstante Glieder ist soviel wie Multiplikation mit n)
 \sum_{i=m}^{n}c = (n-m+1) \cdot c (Summation über n-m+1 konstante Glieder)
 \sum_{i=m}^{n}c \cdot a_i = c \cdot \sum_{i=m}^{n}a_i (Konstanter Faktor kann vor das Summenzeichen gezogen werden)
 \sum_{i=m}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=m}^{n}a_i + \sum_{i=m}^{n}b_i (Reihenfolge der Summanden kann beliebig geändert werden)

Arithmetische Reihen

 \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} (Summe der ersten n natürlichen Zahlen, Der kleine Gauß)
 \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)-(m-1)m}{2} = \frac{(n+m)(n-m+1)}{2} (Summe eines Bereiches von m bis n natürlichen oder ganzen Zahlen)
 \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2 (Summe der ersten n ungeraden Zahlen)

Potenzsummen

\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} (Summe der ersten n Quadratzahlen)
\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 (Summe der ersten n Kubikzahlen)
\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)
\sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right) (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)

Allgemein kann die Summe der ersten i natürlichen Zahlen, jeweils zur k-ten Potenz erhoben, mit der Faulhaberschen Formel berechnet werden.

Harmonische Reihe

 \sum_{i=1}^n \frac 1i \approx \ln(n)+ \gamma, mit der Euler-Mascheroni-Konstante γ (gamma).

Geometrische Reihe

 \sum_{i=0}^n q^i = \frac{\;\; 1-q^{n+1}}{\!\!\!\!\! 1-q} = \frac{\;\; q^{n+1}-1}{\!\!\!\!\! q-1} (geometrische Reihe)
 \sum_{i=0}^{\infty} q^i = \frac{1}{1-q} \qquad \text{mit} \quad |q|<1 (unendliche geometrische Reihe)

Reihen mit Binomialkoeffizienten

 \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k} = (a+b)^n \qquad (a,b \in \mathbb{R} \text{ und } n \in \mathbb{N}) (Binomischer Lehrsatz)

Spezialfälle dieser Formel sind:

  •  \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n (setze a = 1,b = 1)
  •  \sum_{k=0}^{n} (-1)^k{n \choose k} = 0 (setze a = − 1,b = 1)
  •  \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} q^k = ( 1 + q)^n (setze a = 1,b = q)

Eine weitere Eigenschaft der Binomialkoeffizienten, die sich am pascalschen Dreieck ablesen lässt, ist die folgende:

 \sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}

Prozentrechnung

\frac{W}{p} = \frac{G}{100} \qquad \text{bzw.} \quad \frac{W}{G} = p%

G = Grundwert
p = Prozentzahl
p % = Prozentsatz
W = Prozentwert
p% = \frac{p}{100}
W = G \cdot \frac{p}{100} \quad \text{oder} \quad p = \frac{W}{G} \cdot  100 \quad \text{oder} \quad G = \frac{W \cdot  100}{p}
Vermehrter Grundwert
\!\,G^* = G \cdot \frac{100 + p}{100}
Verminderter Grundwert
\!\,G^* = G \cdot \frac{100 - p}{100}

Oft benutzte Prozentsätze

Prozentsatz \!\,1% \!\,2% \!\,2\frac{1}{2}% \!\,4% \!\,5% \!\,6\frac{1}{4}% \!\,6\frac{2}{3}% \!\,12\frac{1}{2}% \!\,20 \!\,25% \!\,33\frac{1}{3}% \!\,50% \!\,66\frac{2}{3}% \!\,75%
Anteil am Grundwert \!\,\frac{1}{100} \!\,\frac{1}{50} \!\,\frac{1}{40} \!\,\frac{1}{25} \!\,\frac{1}{20} \!\,\frac{1}{16} \!\,\frac{1}{15} \!\,\frac{1}{8} \!\,\frac{1}{5} \!\,\frac{1}{4} \!\,\frac{1}{3} \!\,\frac{1}{2} \!\,\frac{2}{3} \!\,\frac{3}{4}

Zinsrechnung

K0 Anfangskapital
Kn Endkapital (nach n Zinsperioden)
n Laufzeit
p Zinsfuß (Zinssatz in Prozent)
i Zinssatz (mit i = p/100)
q Zinsfaktor (mit q = 1 + i)
r Rentenrate
R0 Rentenbarwert (zum Zeitpunkt t = 0)
Rn Rentenendwert (nach n geleisteten Rentenzahlungen)
r konstante Rentenrate oder Rate
n Anzahl der Rentenperioden (Anzahl der Jahre, die der Rentenvorgang andauert)
p Zinssatz der Verzinsung der Rentenraten bzw. des Kapitalbestandes

Als Zinsperiode wird i. d. R. das Kalenderjahr, eingeteilt in 12 Monate mit je 30 Zinstagen gewählt.

Einfache Zinsrechnung:

Verzinsung
Z=K\cdot i\cdot n

Zinseszins:

Endkapital
K_n = K_0 \cdot q^n

Rentenrechnung

Je nachdem, zu welchem Zeitpunkt innerhalb der zugehörigen Zeitperiode die Rente zur Auszahlung kommt, unterscheidet man zwischen einer vorschüssigen Rente (pränumerando), wenn sie am Anfang, und einer nachschüssigen Rente (postnumerando), wenn sie am Ende des zugehörigen Zeitintervalls ausgezahlt wird.

Rentenrechnung (Nachschüssige Rentenzahlungen)

Rentenrate für R0
r\left(n\right) = R_0 \cdot q^n \cdot\frac{q - 1}{q^n - 1}
Rentenrate für Rn
r\left(n\right) = R_n \cdot \frac{q - 1}{q^n - 1}
Rentenendwert
R_n\left(n\right) = r \cdot\frac{q^n - 1}{q - 1}
Rentenbarwert
R_0\left(n\right) = \frac{r}{q^n}\cdot\frac{q^n - 1}{q - 1}

Rentenrechnung (Vorschüssige Rentenzahlungen)

Rentenrate für R0
Rentenrate für Rn
r(n) = R_n\cdot\frac{q^n-1}{q-1}
Rentenendwert
R_n(na)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}
Rentenbarwert

Abschreibung

Jährlicher (j) Abschreibungsbetrag (Lineare Abschreibung)
r=\frac{K_0-K_n}{n}
Jährlicher Abschreibungsbetrag (Geometrisch degressive Abschreibung)
r_j=K_0\cdot q^{j-1}\cdot i

Sparkassenformel

Ansparen mit vorschüssigen Raten
K_n=K_0\cdot q^n+r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}
Abzahlen mit vorschüssigen Raten
K_n=K_0\cdot q^n-r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}
Ansparen mit nachschüssigen Raten
K_n=K_0\cdot q^n+r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}
Abzahlen mit nachschüssigen Raten
K_n=K_0\cdot q^n-r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}

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