Fourier-Transformation


Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation (genauer die kontinuierliche Fourier-Transformation; Aussprache des Namens: fur'je) ist eine Methode der Fourier-Analysis, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahr 1822 die Fourier-Reihen einführte, ein Analogon der kontinuierlichen Fourier-Transformation für periodische Signale.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei f \in L^1(\R^n) eine integrierbare Funktion. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte \mathcal{F}(f) von f ist definiert durch


\mathcal{F}(f)(t)
  = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}}
      \int_{\R^n} f(x)\,e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x,

wobei mit t \cdot x das Standardskalarprodukt der Vektoren t und x gemeint ist und i die imaginäre Einheit darstellt. Die Normierungskonstante ist in der Literatur nicht einheitlich. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren ist es üblich, den Faktor 1/(2\pi)^{\frac{n}{2}} wegzulassen, so dass die Rücktransformation den Vorfaktor 1/(2\pi)^n\, erhält. Die Transformation lautet dann:


\hat f(t)
  = \mathcal{F}(f)(t)
  = \int_{\R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x
und 
f(x)
  = \mathcal{F}^{-1}(\hat f)(x)
  = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\R^n} \hat f(t)\, e^{\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} t\,.

In Literatur zu Signalverarbeitung sowie Systemtheorie findet man auch folgende Konvention, die ohne Vorfaktoren auskommt:


\mathcal{F}(f)(t)
  = \int_{\R^n} f(x)\, e^{-2\pi \mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x.

Die reelle Form der Fourier-Transformation wird als Hartley-Transformation bezeichnet. Für reelle Funktionen f(x) kann die Fourier-Transformation durch die Sinus- und Kosinus-Transformation substituiert werden.

Beispiel

Als Beispiel soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

 f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \cos(\omega_s t) \Theta(t)

oder in komplexer Schreibweise:

 f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \frac{1}{2} (e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}) \Theta(t)

Hier ist x0 die Amplitude und ωs die Kreisfrequenz der Schwingung, τ die Zeit nach der die Amplitude auf 1 / e abgefallen ist und Θ(t) die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

\begin{align}
F(\omega)=\mathcal{F}(f)(\omega)
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} 
     \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} 
     \int_{-\infty}^\infty x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} 
           \cdot \tfrac{1}{2} 
           \left(e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}\right) 
           \Theta(t) \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t} 
           \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} 
      \int_{0}^\infty 
        e^{-\frac{t}{\tau}} 
        \cdot \tfrac{1}{2} 
        \left(e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}\right) 
        \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t} 
        \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} 
     \int_{0}^\infty 
     \left(
       e^{-t\left(\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega)\right)} 
     + e^{-t\left(\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega)\right)} 
     \right)
     \,\mathrm{d} t\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} 
     \left[ 
     - \frac{1}{\frac{1}{\tau} -\mathrm{i}(\omega_s  -\omega ) } 
        e^{-t\left(\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega)\right)} 
     - \frac{1}{\frac{1}{\tau} +\mathrm{i}(\omega_s  +\omega ) } 
       e^{-t\left(\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega)\right)} 
     \right]_0^\infty\\
&= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} 
     \left( 
       \frac{1}{\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega)} 
     + \frac{1}{\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega)} 
     \right)\\
&= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} 
     \frac{ 
       \frac{1}{\tau} + \mathrm{i} \omega 
     }{ 
       (\frac{1}{\tau} + \mathrm{i} \omega)^2 + \omega_s^2 
     }\,.
\end{align}

Eigenschaften

Linearität

Die Fourier-Transformation \mathcal{F} ist ein linearer Operator. Das heißt es gilt \mathcal{F}(a \cdot f + b \cdot g) = a \cdot \mathcal{F}(f) + b \cdot \mathcal{F}(g).

Stetigkeit

Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator von L^1(\R^n) nach C_0(\R^n). Mit C_0(\R^n) ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für x \to \pm \infty, d.h. im Unendlichen, verschwinden. Außerdem gilt die Ungleichung

\|\mathcal{F}(f)\|_{L^\infty(\R^n)} \leq \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}\|f\|_{L^1(\R^n)}.

Differentiationsregeln

Sei f \in S(\R^n) \subset L^1(\R^n) eine Schwartz-Funktion und α ein Multiindex. Dann gilt

  • \mathcal{F}(f) \in S(\R^n) und D^\alpha(\mathcal{F}(f)) = (-i)^{|\alpha|} \mathcal{F}(x^\alpha f).
  • \mathcal{F}(D^\alpha f)(\xi) = i^{|\alpha|} \xi^\alpha \mathcal{F}(f)(\xi).

Fixpunkt

Die Dichtefunktion \varphi_{0;1}(x)=\tfrac {1}{\sqrt{2\pi}^n} \cdot e^{-\frac {1}{2} x^2}, x\in \R^n der (n-dimensionalen) Gauß'schen Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fouriertransformation. Das heißt, es gilt für alle x \in \R^n die Gleichung

 \mathcal{F}(\varphi_{0;1})(x) = \varphi_{0;1}(x).

Mit Hilfe des Residuensatzes oder mit Hilfe partieller Integration und Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral \textstyle \tfrac {1}{(2\pi)^n} \int_\R \cdot e^{ix \xi}e^{-\frac {1}{2} x^2} \mathrm{d} x bestimmt werden.

Spiegelsymmetrie

Für f \in S(\R^n) gilt für alle x \in \R^n die Gleichung

\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))(x) = f(-x).

Rücktransformationsformel

Sei f \in L^1(\R^n) eine integrierbare Funktion derart, dass auch \mathcal{F}(f) \in L^1(\R^n) gilt. Dann gilt die Rücktransformation

\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(f))(x) = f(x)= \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{\mathrm{i} t x} \mathcal{F}(f)(t) \,\mathrm{d} t.

Diese wird auch Fouriersynthese genannt. Auf dem Schwartz-Raum S(\R^n) ist die Fouriertransformation ein Automorphismus.

Fourier-Transformation von L2-Funktionen

Definition

Für eine Funktion f \in L^2(\R^n) ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch

\mathcal{F}(f)(\xi) = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{B_r(0)} f(x) e^{-ix \xi} \mathrm{d} x.

Die Konvergenz ist im Sinne von L2 zu verstehen und B_r(0) = \{x \in \R^n : |x| \leq r\} ist die Kugel um den Ursprung mit Radius r. Für Funktionen f \in L^2(\R^n) \cap L^1(\R^n) stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein. Da die Fouriertransformation bezüglich des L2-Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und L^2(\R^n)\cap L^1(\R^n) in L^2(\R^n) dicht liegt, folgt, dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des L^2(\R^n) ist. Dies ist die Aussage des Satzes von Plancherel.

Hausdorff-Young-Ungleichung

Seien 1 \leq p \leq 2 und \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1. Für f \in L^p(\R^n) ist \mathcal{F}(f) \in L^q(\R^n) und es gilt

\|\mathcal{F}(f)\|_{L^q(\R^n)} \leq (2 \pi)^{\frac{n}{q}} \|f\|_{L^p(\R^n)}.

Die Fourier-Transformation \mathcal{F} : L^2(\R^n) \to L^2(\R^n) hat also eine Fortsetzung zu einem stetigen Operator \mathcal{F} : L^p(\R^n) \to L^q(\R^n), der durch

\mathcal{F}(f)(\xi) = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^n} \int_{B_r(0)} f(x) e^{-ix \xi} \mathrm{d} x

beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von Lq zu verstehen.

Differentiationsregel

Falls die Funktion f schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwarzfunktionen. Sei also f \in W^{k,2}(\R^n) = H^k(\R^n) eine k-mal schwach differenzierbare L2-Funktion und α ein Multiindex mit |\alpha| \leq k. Dann gilt

\mathcal{F}(D^\alpha f) = i^{|\alpha|} \xi^\alpha \mathcal{F}(f).

Unitäre Abbildung

Die Fourier-Transformation ist bezüglich den komplexen L2-Skalarproduktes eine unitäre Abbildung, das heißt es gilt

\langle\mathcal{F}(f), g \rangle_{L^2} = \int_{\R^n} \overline{\mathcal{F}(f)}(x) g(x) \mathrm{d} x = \int_{\R^n} \overline{f}(x) \mathcal{F}^{-1}(g)(x) \mathrm{d} x = \langle f, \mathcal{F}^{-1}(g) \rangle_{L^2}.

Fourier-Transformation im Raum der temperierten Distributionen

Hauptartikel: Temperierte Distribution

Sei u \in S'(\R^n) eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte \mathcal{F}(u) ist für alle \phi \in S(\R^n) definiert durch

\mathcal{F}(u)(\phi) := u(\mathcal{F}(\phi)).

Stattet man den Raum S'(\R^n) mit der schwachen Topologie aus, dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf S'(\R^n). Ihre Umkehrabbildung lautet

u(\phi)(-x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\mathcal{F}(\mathcal{F}(u))(\phi)(x).

Fourier-Transformation von Maßen

Die Fourier-Transformation wird allgemein für endliche Borel-Maße auf \R^n definiert:

\check \mu(x) = \int e^{i xy} \mu (dy)

heißt inverse Fourier-Transformierte des Maßes. Die charakteristische Funktion ist dann die inverse Fourier-Transformierte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Partielle Differentialgleichungen

In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. Die Differentiationsregel und das Faltungstheorem sind dabei von essentieller Bedeutung. Am Beispiel der Wärmeleitungsgleichung wird nun gezeigt wie man mit der Fourier-Transformation eine partielle Differentialgleichung löst. Das Anfangswertproblem der Wärmegleichung lautet

\left\{\begin{array}{rcll}
\frac{\partial u}{\partial t} (x,t) &=& \Delta_x u(x,t) &\mathrm{in}\ \R^n \times ]0,\infty[\\
u(x,t) &=& g(x,t) &\mathrm{auf}\ \R^n \times \{t = 0\}\,.
\end{array}\right.

Hierbei bezeichnet Δx den Laplace-Operator, der nur auf die x-Variablen wirkt. Anwenden der Fourier-Transformation auf beide Gleichungen bezüglich der x-Variablen und Anwenden der Differentiationsregel ergibt

\left\{\begin{array}{rcll}
\mathcal{F}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) (\xi,t) &=& |\xi|^2 \mathcal{F}(u)(\xi,t) &\mathrm{in}\ \R^n \times ]0,\infty[\\
\mathcal{F}(u)(\xi,t) &=& \mathcal{F}(g)(\xi,t) &\mathrm{auf}\ \R^n \times \{t = 0\}\,.
\end{array}\right.

Hierbei handelt es sich nun um eine Gewöhnliche Differentialgleichung, die die Lösung

\mathcal{F}(u)(\xi,t) = e^{-t|\xi|^2} \mathcal{F}(g)(\xi,t)

hat. Daraus folgt \textstyle u(x,t) = \mathcal{F}^{-1}\left(\exp(-t|\xi|^2) \mathcal{F}(g)(x,t)\right) und aufgrund des Faltungstheorems gilt

u(x,t) = \frac{g(x,t) * F(x,t)}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}}

mit \mathcal{F}(F)(\xi,t) = \exp(-t |\xi|^2). Daraus folgt

F(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^\frac{n}{2}} \int_{\R^n} e^{ix \cdot \xi - t|y|^2} \mathrm{d} y = \frac{1}{(2 \pi)^\frac{n}{2}} e^{\frac{-|x|^2}{4t}}\,.

Das ist die Fundamentallösung der Wärmegleichung. Die Lösung des hier betrachteten Anfangswertproblems hat daher die Darstellung

u(x,t) = \frac{g(x,t) * F(x,t)}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} = \frac{1}{(4 \pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\frac{|x-\xi|^2}{4t}} g(\xi) \mathrm{\xi}\,.

Wichtige Fourier-Transformations-Paare

Hier eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare. G und H sind die Fouriertransformierten der Funktionen g(t) bzw. h(t).

  Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,
=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm{d}f\,

 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,
2 g(t - a)\, e^{- i a \omega} G(\omega)\, e^{- i 2\pi a f} G(f)\, Zeitverschiebung
3 e^{ iat} g(t)\, G(\omega - a)\, G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)\, Frequenzverschiebung (Äquivalent zu Nr. 2)
4 g(a t)\, \frac{1}{|a|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)\, \frac{1}{|a|} G \left( \frac{f}{a} \right)\,
6 g^{(n)}(t)\, (i\omega)^n G(\omega)\, (i 2\pi f)^n G(f)\, Hier ist n eine Natürliche Zahl und g eine Schwartz-Funktion. g(n) bezeichnet die n-te Ableitung von g.
8 (g * h)(t)\, \sqrt{2\pi}\, G(\omega) H(\omega)\, G(f) H(f)\, g * h\, bedeutet die Faltung von g\, mit h\,
9 g(t) h(t)\, (G * H)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, (G * H)(f)\, Äquivalent zu Nr. 8
 
Quadratisch integrierbare Funktionen
  Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,
=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm{d}f\,

 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,
10 \exp\left(-\frac{a t^2}{2}\right)\, \frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \exp\left(-\frac{\omega^2}{2a}\right) \begin{matrix}\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\end{matrix} \exp\left(-\begin{matrix}\frac{2\pi}{a}\end{matrix}\cdot \pi f^2\right) Die Gaußsche Funktion exp( − t2 / 2) ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss Re(a) > 0 sein.
11 \mathrm{rect}(a t) \, \frac{1}{\sqrt{2 \pi} |a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2 a}\right) \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\pi\ \frac{f}{a}\right) Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion.
12  \mathrm{sinc}(a t) \equiv \frac{\mathrm{sin}(a t)}{a t}\, \frac{1}{|a|} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 a}\right) \frac{\pi}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\pi}{a} f \right) Äquivalent zu Nr. 11. Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die sinc-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
13 \exp\left(-a|t|\right) \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{\omega^{2}+a^{2}} \frac{2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}} a > 0. Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.
14 \frac{1}{t^{2}+a^{2}} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a}\exp\left(-a|\omega|\right) \frac{\pi}{a}\exp\left(-2\pi a|f|\right) Äquivalent zu Nr. 13.
 
Distributionen
  Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,
=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm{d}f\,

 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,
17 e^{i a t}\, \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\, \delta(f - \frac{a}{2\pi})\,
18 \cos (a t)\, \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\, \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\,
19 \sin( at)\, \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\, \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,
20 t^n\, i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\, Hier ist n eine Natürliche Zahl. δ(n) bezeichnet die n-te Ableitung der Delta-Distribution.
21 \frac{1}{t^n}\, -i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\, -i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\,
22 \sgn(t)\, \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\, \frac{1}{i\pi f}\,
23 \Theta(t) \, \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\, \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\, Θ(t) ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
24 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \, \begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix}  \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\, \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,

Literatur

Weblinks


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