Fundamentalsatz der Arithmetik

Fundamentalsatz der Arithmetik

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt von Primzahlen. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Sie zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Sei n eine natürliche Zahl. Eine Zahl p heißt Primfaktor von n,

wenn p ein Teiler von n ist und
p eine Primzahl ist.

Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der N Primfaktoren von n:

n= p_1 \cdot \ldots \cdot p_N = \prod_{k=1}^{N}p_k .

Die Primfaktorzerlegung hängt dabei nicht von der Reihenfolge der Faktoren ab, da die Multiplikation kommutativ ist. Da Eins keine Primzahl ist, hat sie auch keinen Primfaktor. Ihre Primfaktorzerlegung kann als leeres Produkt betrachtet werden. Wenn n selbst eine Primzahl ist, so ist es gleichzeitig selbst sein einziger Primfaktor. Gibt es mehr als einen Primfaktor, so wird n zusammengesetzte Zahl genannt. Die Null ist niemals Teil der multiplikativen Gruppe und wird von solchen Betrachtungen ausgeschlossen.

Mehrfach auftretende Primfaktoren können mittels Exponenten-Schreibweise zusammengefasst werden. Sind die Primfaktoren aufsteigend geordnet, spricht man auch von der kanonischen Primfaktorzerlegung:

n=p_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot p_M^{e_M} = \prod_{k=1}^{M} p_k^{e_k}, wenn unter den N Primfaktoren M verschiedene sind.

Den Exponenten ek eines Primfaktors pk nennt man auch „Vielfachheit von pk in n“ oder „pk-Bewertung von n“ (siehe Bewertungstheorie). Er gibt an, wie oft n durch pk teilbar ist.

Beispiele für Primfaktorzerlegungen

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5
37 = 37 \ (Primzahl)
1024 = 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^{10} (Zweierpotenz)
6936 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 17, mit der kanonischen Darstellung 2^3 \cdot 3 \cdot 17^2

Fundamentalsatz der Arithmetik

Die Aussagen für Existenz der Primfaktorzerlegung für jede natürliche Zahl und deren Eindeutigkeit in der kanonischen Darstellung sind der Fundamentalsatz der Arithmetik. Beide Aussagen werden getrennt formuliert und bewiesen. Die Beweise sind zahlentheoretisch elementar, werden klassisch als Widerspruchsbeweis formuliert und nutzen die Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Zum ersten Mal vollständig und korrekt bewiesen findet sich der Fundamentalsatz der Arithmetik in den Disquisitiones Arithmeticae von Carl Friedrich Gauß. Er war aber bereits - wenn auch in leicht abgewandelter Form - Euklid bekannt.

Existenz

Um die Existenz einer Primfaktorzerlegung zu zeigen werden die positiven natürlichen Zahlen zweckmäßigerweise in drei Gruppen unterteilt: die Eins, die Primzahlen und der Rest, die zusammengesetzten Zahlen. Die Eins entspricht definitionsgemäß dem leeren Produkt. Jede Primzahl ist gleich dem Produkt aus nur einem Faktor: der Primzahl selbst. Es bleibt noch zu zeigen, dass sich auch die zusammengesetzten Zahlen als Produkt von Primzahlen darstellen lassen.

Angenommen es gäbe zusammengesetzte Zahlen, die sich nicht als Produkt von Primzahlen darstellen ließen, dann gäbe es auch eine kleinste solche Zahl. Diese Zahl sei n. Da n weder die Eins noch eine Primzahl ist, besitzt sie einen Teiler a mit 1 < a < n und lässt sich deshalb als Produkt n = a \cdot b mit 1 < b < n schreiben. Da es sich dabei nicht um das Produkt zweier Primzahlen handelt, muss a oder b eine zusammengesetzte Zahl sein. Diese Zahl wäre kleiner als n und stände damit im Widerspruch zu Annahme, dass n die kleinste zusammengesetzte Zahl ist.

Eindeutigkeit

Gäbe es unterschiedliche Zerlegungen von natürlichen Zahlen, könnte die kleinste Zahl mit unterschiedlichen Zerlegungen betrachtet werden. Dies führt zu einem Widerspruch, da gezeigt werden kann, dass in diesem Fall diese kleinste Zahl dividiert durch einen Primfaktor ebenfalls mehrere Zerlegungen haben muss. Dies folgt aus einem Hilfssatz: Teilt eine Primzahl ein Produkt, so auch einen der Faktoren.[1] Dieser ist wiederum eine Folgerung aus dem Lemma von Bézout und dient als Grundlage für eine verallgemeinerte Definition von Primzahlen, den Primelementen.

Eigenschaften

Verallgemeinerung

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Primzahlen zu verallgemeinern. Die bekannteste Anwendung sind die ganzen Zahlen, Primzahlen können dort auch ein negatives Vorzeichen haben. Andererseits ist dies schon ein spezielles Beispiel, da auch dort die Primfaktorzerlegung im Wesentlichen eindeutig ist.

Ein allgemeiner Ansatz verlangt mindestens einen Begriff der Teilbarkeit innerhalb der mathematischen Struktur. David Hilbert bewies, dass für die gewünschte Eindeutigkeit eine additive Struktur zwingend notwendig ist. Üblicherweise wird von einem kommutativen Ring mit Eins ausgegangen, dort können Primelemente definiert werden, ist der Ring auch noch nullteilerfrei (also ein Integritätsbereich), so gibt es zusätzlich irreduzible Elemente, die nicht prim genannt werden können. Sie werden anders definiert, sind aber trotzdem unzerlegbar und enthalten die Primelemente als echte Teilmenge.

Eine im wesentlichen eindeutige Zerlegung bedeutet ohne Beachtung der Reihenfolge der Faktoren (da der Ring kommutativ ist) und Multiplikation mit Einheiten (bei ganzen Zahlen ist das − 1, wodurch das Vorzeichen bestimmt wird.) In allgemeinen Integritätsbereichen kann man nicht von Primfaktorzerlegungen sprechen, da diese Eindeutigkeit nicht gegeben ist. Stattdessen spricht man von Zerlegungen in irreduzible Faktoren. Man muss deren Eindeutigkeit explizit fordern, was zur Definition von faktoriellen Ringen führt. Mit dieser Forderung lässt sich dann aber dort auch schon die Äquivalenz von irreduzibel und prim folgern: Faktorielle Ringe sind ZPE-Ringe. Ein etwas anderer Ansatz wird mit Primidealen verfolgt.

Beispiele

Auch auf dem Dreiecksgitter der Eisenstein-Zahlen existiert für jeden Gitterpunkt eine Primfaktorzerlegung
  • In dem Integritätsbereich \mathbb Z[\sqrt{-5}] sind die Elemente 2,3,1+\sqrt{-5} irreduzibel und keine zwei sind zueinander assoziiert. Aber es gilt: 6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}). Man kann also nicht von einer Primfaktorzerlegung sprechen.
  • Ein irreduzibles Polynom heißt Primpolynom, wenn der Leitkoeffizient gleich 1 ist. Im Polynomring K[x] über einem Körper K ist jedes nichtkonstante Polynom im wesentlichen eindeutig als Produkt von Primpolynomen darstellbar.[3]
  • Sowohl in den gaußschen Zahlen als auch den Eisenstein-Zahlen existiert stets eine Primfaktorzerlegung, natürlich außer für die 0. Wegen der fehlenden Ordnungsstruktur auf den komplexen Zahlen kann man jedoch nicht so einfach eine Darstellung als kanonisch bezeichnen, durch die jeweils vier Einheiten, die in beiden Ringen existieren, wird es noch unübersichtlicher.

Einzelnachweise

  1. Jürgen Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie. 1 Auflage. Vieweg Verlag, 1996, ISBN 3528072866, S. 6-7. 
  2. Thomas Kantke: Billige und teure Zahlen. In: Spektrum der Wissenschaft - SPEZIAL: Omega. Nr. 4/2003, Spektrum, Heidelberg 2003, S. 68-74. 
  3. Jürgen Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie. 1 Auflage. Vieweg Verlag, 1996, ISBN 3528072866, S. 72, 37. 

Literatur

Weblinks


Wikimedia Foundation.

См. также в других словарях:

  • Arithmetik — Die Arithmetik (griechisch αριθμητική [τέχνη], arithmitiké [téchne], wörtlich „die Zahlenmäßige [Kunst]“) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Die Arithmetik wurde von den Pythagoreern begründet und in Buch VII IX von Euklids Elementen erstmals… …   Deutsch Wikipedia

  • Menge der natürliche Zahlen — ℕ Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gerechnet. Sie bilden bezüglich der Addition und der Multiplikation einen (additiv und… …   Deutsch Wikipedia

  • Geschichte der Faktorisierungsverfahren — Das Faktorisierungsproblem für ganze Zahlen ist eine Aufgabenstellung aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Dabei soll zu einer zusammengesetzten Zahl ein nichttrivialer Teiler ermittelt werden. Ist beispielsweise die Zahl 91… …   Deutsch Wikipedia

  • Teilgebiet der Mathematik — Dieser Artikel ergänzt den Hauptartikel Mathematik und die Portalseite Mathematik. Er dient dazu, einen Überblick über die Teilgebiete der Mathematik zu geben (siehe auch Höhere Mathematik). Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge… …   Deutsch Wikipedia

  • Zweig der Mathematik — Dieser Artikel ergänzt den Hauptartikel Mathematik und die Portalseite Mathematik. Er dient dazu, einen Überblick über die Teilgebiete der Mathematik zu geben (siehe auch Höhere Mathematik). Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge… …   Deutsch Wikipedia

  • Teilgebiete der Mathematik — Dieser Artikel ergänzt den Hauptartikel Mathematik und die Portalseite Mathematik. Er dient dazu, einen Überblick über die Teilgebiete der Mathematik zu geben (siehe auch Höhere Mathematik). Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge… …   Deutsch Wikipedia

  • Primfaktorzerlegung — Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von n bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den… …   Deutsch Wikipedia

  • Primfaktor — Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt von Primzahlen. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Sie zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie.… …   Deutsch Wikipedia

  • Primfaktoren — Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt von Primzahlen. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Sie zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie.… …   Deutsch Wikipedia

  • Primfaktorenzerlegung — Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt von Primzahlen. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Sie zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie.… …   Deutsch Wikipedia


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»