Geometrische Brownsche Bewegung

Geometrische Brownsche Bewegung
Drei (abhängige) geometrische brownsche Bewegungen mit Drift μ=0,8 und Volatilität σ=0,4 (blau), σ=0,25 (rot) und σ=0,1 (gelb)

Die geometrische brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, der sich von der brownschen Bewegung her ableitet. Sie findet vor allem in der Finanzmathematik Verwendung.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei Wt eine Standard-Brownsche-Bewegung. So ist S_t = a \exp\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma W_t \right] eine geometrische brownsche Bewegung.

Herleitung

Drei unabhängige geometrische brownsche Bewegungen mit Volatilität 0,2 und Drift 0,7 (grün), 0,2 (blau) und -0,7 (rot)

Die geometrische brownsche Bewegung ist Lösung der stochastischen Differentialgleichung

\mathrm{d}S_t = \mu S_t \, \mathrm{d}t + \sigma S_t \,\mathrm{d}W_t, \quad t\ge0, \quad S_0=a

Der Parameter μ heißt dabei Drift und beschreibt die deterministische Tendenz des Prozesses. Ist μ > 0, so wächst der Wert von S in Erwartung, ist er negativ, fällt S tendenziell. Für μ = 0 ist S ein Martingal.

Der Parameter σ beschreibt die Volatilität und steuert den Einfluss des Zufalls auf den Prozess S. Ist σ = 0, so verschwindet der Diffusionsterm in der obigen Differentialgleichung, übrig bleibt die gewöhnliche Differentialgleichung

\mathrm{d}S(t)=\mu \, S(t) \, \mathrm{d}t, \; S(0)=a,

die die Exponentialfunktion S(t) = aeμt als Lösung besitzt. Deshalb kann man die geometrische brownsche Bewegung als stochastisches Pendant zur Exponentialfunktion auffassen.

Eigenschaften

Insbesondere gilt also \mathrm{Var}(S_t)=a^2 \mathrm{e}^{2\mu t}(\mathrm{e}^{\sigma^2 t}-1) .
  • Die geometrische brownsche Bewegung hat unabhängige multiplikative Zuwächse, d. h. für alle  0\le t_1 \le t_2 \ldots \le t_n sind
 S_{t_1},\frac{S_{t_2}}{S_{t_1}}, \ldots \frac{S_{t_n}}{S_{t_{n-1}}} unabhängig.

Anwendung

Im Black-Scholes-Modell, dem einfachsten und am weitesten verbreiteten (zeitstetigen) finanzmathematischen Modell zur Bewertung von Optionen, wird die geometrische Brownsche Bewegung als Näherung für den Preisprozess eines Underlying (z. B. einer Aktie) herangezogen. Dazu führte die vereinfachende Annahme, dass die prozentuale Rendite über disjunkte Zeitintervalle unabhängig und normalverteilt ist. µ spielt hier die Rolle des risikofreien Zinssatzes, σ repräsentiert das Schwankungsrisiko an der Börse. Die oben erwähnte Martingaleigenschaft spielt hier eine zentrale Rolle.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Geometrische brownsche Bewegung — Drei (abhängige) geometrische Brownsche Bewegungen mit Drift μ=0,8 und Volatilität σ=0,4 (blau), σ=0,25 (rot) und σ=0,1 (gelb) Die geometrische Brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, der sich vom Wiener Prozess (auch Brownsche… …   Deutsch Wikipedia

  • Brownsche Bewegung — Zweidimensionale brownsche Bewegung Als brownsche Bewegung (oder brownsche Molekularbewegung) wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte Wärmebewegung von Teilchen in Flüssigkeiten und Gasen bezeichnet. Dabei… …   Deutsch Wikipedia

  • Geometrische Brown'sche Bewegung — Drei (abhängige) geometrische brownsche Bewegungen mit Drift μ=0,8 und Volatilität σ=0,4 (blau), σ=0,25 (rot) und σ=0,1 (gelb) Die geometrische brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, der sich von der brownschen Bewegung her ableitet.… …   Deutsch Wikipedia

  • Brownsche Molekularbewegung — Zweidimensionale brownsche Bewegung Als brownsche Bewegung (oder brownsche Molekularbewegung) wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte Wärmebewegung von Teilchen bezeichnet. Dabei beschreibt jedes Atom oder… …   Deutsch Wikipedia

  • Brown'sche Bewegung — Zweidimensionale brownsche Bewegung Als brownsche Bewegung (oder brownsche Molekularbewegung) wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte Wärmebewegung von Teilchen bezeichnet. Dabei beschreibt jedes Atom oder… …   Deutsch Wikipedia

  • Brownian motion — Zwei unabhängige Standard Wiener Prozesse Ein Wiener Prozess ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der normalverteilte, unabhängige Zuwächse hat. Benannt wurde der Prozess, der auch als Brownsche Bewegung bekannt ist, nach dem… …   Deutsch Wikipedia

  • Wiener-Prozess — Zwei Beispielpfade eines Standard Wiener Prozesses Ein Wiener Prozess ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der normalverteilte, unabhängige Zuwächse hat. Benannt wurde der Prozess, der auch als Brownsche Bewegung bekannt ist, nach dem… …   Deutsch Wikipedia

  • Braun'sche Molekularbewegung — Zweidimensionale brownsche Bewegung Als brownsche Bewegung (oder brownsche Molekularbewegung) wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte Wärmebewegung von Teilchen bezeichnet. Dabei beschreibt jedes Atom oder… …   Deutsch Wikipedia

  • Brown'sche Molekularbewegung — Zweidimensionale brownsche Bewegung Als brownsche Bewegung (oder brownsche Molekularbewegung) wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte Wärmebewegung von Teilchen bezeichnet. Dabei beschreibt jedes Atom oder… …   Deutsch Wikipedia

  • Molekularbewegung — Zweidimensionale brownsche Bewegung Als brownsche Bewegung (oder brownsche Molekularbewegung) wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte Wärmebewegung von Teilchen bezeichnet. Dabei beschreibt jedes Atom oder… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”