Geschlecht (Fläche)

Geschlecht (Fläche)

Unter dem Geschlecht einer glatten kompakten orientierbaren Fläche versteht man in der Topologie die Anzahl der „Löcher“ (oder der „Henkel“) der Fläche. Das Geschlecht ist eine topologische Invariante.

Definition

Das Geschlecht einer Fläche ist definiert als die maximale Anzahl von möglichen Schnitten entlang geschlossener Kurven, so dass die Fläche nach dem Schnittvorgang, also nach allen gemachten Schnitten, immer noch zusammenhängend ist.

Beispiele

Dieser Doppeltorus hat das Geschlecht 2.

Die Kugeloberfläche S2 hat das Geschlecht 0, da sie keine Löcher hat, bzw. jeder Schnitt sie in zwei nichtzusammenhängende Teile teilt.

Die Torusoberfläche hat das Geschlecht 1: Schneidet man einen Fahrradschlauch radial auf, bleibt er zusammenhängend. Jeder weitere Schnitt würde ihn dagegen in 2 Teile teilen.

Beziehungen zu anderen Größen

Die Euler-Charakteristik χ und das Geschlecht g hängen wie folgt zusammen

χ = 2 − 2g

Siehe auch: Satz von Gauß-Bonnet, Vier-Farben-Satz


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