Gittereichtheorie

Eine Gittereichtheorie ist eine Eichtheorie, welche auf einer diskreten Raumzeit definiert wird. Gittereichtheorien gehören zu den wenigen Möglichkeiten nicht-störungstheoretische Berechnungen in Quantenfeldtheorien durchzuführen.

Die Grundidee einer Gittereichtheorie ist, dass durch Einführen eines minimalen Abstandes in Raum und Zeit die Theorie regularisiert werden kann, sodass bei hohen Energien keine Divergenzen mehr auftreten. Dieser minimale Abstand entspricht einer Abschneideenergie (engl. Cut-Off) im Impulsraum. Eine stete Verkleinerung des minimalen Gitterabstandes entspricht dem Übergang zur ursprünglichen Theorie im kontinuerlichem Raum durch Entfernen der höchsten Energie im Impulsraum.

Um Simulationen von Gittereichtheorien auf Computern zu ermöglichen wird in der Regel zusätzlich eine Wick-Rotation durchgeführt, wodurch man zum Euklidischen Raum übergeht. Dann existiert eine Verwandtschaft zur statistischen Physik und es kann das mächtige Werkzeug der Monte-Carlo-Simulation herangezogen werden.

Besondere Bedeutung erlangte die Methode im Rahmen der Quantenchromodynamik, der QCD, sodass man, wenn nichts anderes gesagt ist, meistens die Gitter-QCD im Auge hat. Weil die Gitterregularisierung eine nicht-störungstheoretische Regularisierung ist, kann man in Gittereichtheorien auch Berechnungen für niedrige Energien durchführen, die für die Störungstheorie nicht zugänglich sind. Dadurch lassen sich u. a. die Massen von Hadronen, d. h. von gebundenen Quarkzuständen, thermodynamische Größen oder wichtige topologische Anregungen (Monopole, Instantonen und Solitonen) untersuchen.

Neben der QCD werden auch andere Eichtheorien, und Spinsysteme, auf dem Gitter untersucht, insbesondere solche mit nichtabelscher Eichgruppe (allgemeine Yang-Mills-Theorien analog zur QCD).

Formulierung

Die 1974 von Kenneth Wilson eingeführte Gittertheorie der Quantenchromodynamik diskretisiert die Wirkung der QCD auf einem vierdimensionalen kubischen Gitter Λ(a) mit Gitterabstand a. Ein wichtiges Prinzip bei Wilsons Konstruktion dieser Gittertheorie ist, dass deren Wirkung auch bei endlichem Gitterabstand explizit eichinvariant ist. Des Weiteren ist die Wilson-Wirkung so gewählt, dass sich im Grenzwert $a\rightarrow 0$ die Kontinuumswirkung ergibt. Üblicherweise betrachtet man die Formulierung für den Eichsektor separat von derjenigen für Fermionen, da die Übertragung der chiralen Symmetrie der Fermionfelder auf das Gitter ein eigenes Problemfeld darstellt.

Reine Eichtheorie

Für die Diskretisierung der Yang-Mills-Wirkung, die die Dynamik der Eichbosonen beschreibt, definiert man sogenannte Linkvariablen U_μ, welche benachbarte Gitterpunkte verbinden,

$U_\mu = \mathrm{exp}\left(iaA_\mu\left(n+\frac{\hat\mu}{2}\right)\right).$

Hierbei sind die Eichfelder A_μ Elemente der adjungierten Darstellung der Algebra der Eichgruppe der QCD, SU(3). Die Linkvariablen U_μ selbst Elemente der Eichgruppe, also SU(3)-Matrizen, die jeweils zwei benachbarte Gitterpunkte verbinden. Im Sinne der Differentialgeometrie können sie als endlicher Paralleltransport aufgefasst werden.

Der Eichfeldanteil der Wirkung lässt sich nun als die Spur über geschlossene Schleifen von Linkvariablen darstellen. Jede Spur über solche Wilson-Loops ist eichinvariant. Eine einfache Eichwirkung kann daher wie folgt geschrieben werden:

$S_G[U]=\frac{2}{g^2}\sum_{n\in\Lambda}\sum_{\mu<\nu}\mathrm{Re}\;\mathrm{tr}(1-U^{(4)}_{\mu\nu}(n)).$

Hierbei sind die $U^{(4)}_{\mu\nu}$ (die sogenannten Plaketten-Variablen) definiert als die zu kleinsten geschlossenen Rechteck-Schleifen gehörigen Größen^[1]

$U^{(4)}_{\mu\nu}(n)= U_{+\mu}(n)U_{+\nu}(n+\hat\mu)U_{-\mu}(n+\hat\mu+\hat\nu)U_{-\nu}(n+\hat\nu)\,,$

analog zur Geometrie eines Quadrats, das z. B. bei positivem Umlaufsinn durch die vier Zahlen 1 2 3 und 4 indiziert wird.

Statt der Kopplungskonstante g benutzt man häufig die inverse Eichkopplung $\beta=\frac{6}{g^2}\,.$

Da die Form der Wirkung nur durch den Kontinuumslimes, $a\rightarrow0$, festgelegt ist, ist die obige angegebene Eichwirkung, die sogenannte Wilson- oder Plakett-Wirkung, nicht eindeutig, sondern kann durch Terme, die im Kontinuumslimes verschwinden, modifiziert werden. Diese Beobachtung wird verwendet, um verbesserte Wirkungen mit einer schnelleren Kontinuumsannäherung zu konstruieren.

Fermionen auf dem Gitter

Während die Linkvariablen jeweils zwei Gitterpunkte verbinden, sind die Fermionfelder auf diesen Punkten definiert. Dadurch lassen sich eichinvariante Kombinationen der Form $\psi(x) U_\mu(x) \psi(x+\hat\mu)$ mit $x/a \in \Lambda$ bilden, die als Bausteine der diskretisierten kovarianten Ableitung verwendet werden können.

Ersetzt man nun die Ableitungen in der Dirac-Wirkung durch endliche Differenzen, erhält man eine naive Diskretisierung der Theorie, die nicht nur ein einzelnes Fermion beschreibt, sondern sechzehn (2^d mit d = 4 für die Anzahl der Dimensionen). Dieses Phänomen ist als Dopplerproblem bekannt und hängt mit der Realisierung der chiralen Symmetrie auf dem Gitter zusammen. In der Tat besagt das Nielsen-Ninomiya-Theorem, dass auf dem Gitter kein Diracoperator mit korrektem Kontinuumslimes gleichzeitig dopplerfrei, lokal, translationsinvariant und chiral-symmetrisch sein kann. Um das Dopplerproblem physikalisch korrekt zu berücksichtigen, werden verschiedene Arten der Fermiondiskretisierung verwendet, die im folgenden beschrieben werden.

Wilson-Fermionen

Zur Beseitigung der Doppler kann man weitere Terme in die Wirkung einbinden, die den unphysikalischen Fermionmoden eine zusätzliche Masse verleihen. Beim Bilden des Kontinuumslimes entkoppeln die so entstehenden Dopplermoden von der Theorie, da ihre Masse ∼1 / a divergiert. Dies ist der Ansatz der Wilson-Fermionwirkung:

$S_F[\psi,\bar{\psi},U]=a^4\sum_{f=1}^{N_f}\sum_{n\in\Lambda}\left(\bar{\psi}^f(n)\sum_{\mu=\pm1}^{\pm4}(1-\gamma_\mu)\frac{U_\mu(n)\psi^f(n+\hat\mu)}{2a}+\left(m^f+{\frac{4}{a}}r\right)\bar{\psi}^f(n)\psi^f (n)\right)\,,$

wobei f  den Flavour-Freiheitsgrad der Fermionen bezeichnet und r als Vorfaktor vor dem neu eingeführten Wilson-Term frei gewählt werden kann. Für r=0 erhält man die ursprünglichen naiv diskretisierten Fermionen mit Dopplern, während für die übliche Wahl r=1 die Doppler wie oben beschrieben beseitigt werden.

Bei endlichem a ist jedoch durch den Wilson-Term die chirale Symmetrie explizit gebrochen und wird erst im Kontinuumslimes wieder hergestellt. Eine praktische Konsequenz ist, dass die Gitterartefakte anders als für andere Wirkungen schon in linearer Ordnung des Gitterabstandes auftreten. Um dieses Problem zu beheben, werden in numerischen Simulationen fast ausschließlich sogenannte verbesserte Wirkungen verwendet. Am weitesten verbreitet sind hierbei die sogenannten clover fermions, für die ein weiterer Term zur Wirkung hinzugefügt wird, dessen freier Parameter so gewählt werden kann, dass die führenden Gitterartefakte eliminiert werden. Daneben finden auch Wilson-Fermionen mit einem modifizierten Massenterm unter dem Namen twisted mass fermions Verwendung.

Staggered-Fermionen

Neben den Wilson-Fermionen werden insbesondere die sogenannten Staggered-Fermionen (engl. staggered fermions) verwendet.^[2] Diese nutzen eine Spindiagonalisierung um die Anzahl der Doppler um einen Faktor 4 zu reduzieren. Um eine Theorie mit genau einer Fermionart zu beschreiben, muss ein theoretisch umstrittenes Verfahren, das als rooting bekannt ist, angewandt werden.^[3]

Chirale Fermionen

In der Kontinuumstheorie erfüllt der Diracoperator D einer chiral-symmetrischen Theorie die Beziehung $\{D,\gamma_5\}=0\,,$ wobei γ₅ , wie auch D, aus der Dirac-Theorie als bekannt vorausgesetzt werden sollen. ^[4] Der Wilson-Term bricht diese Symmetrie explizit. Dies lässt sich jedoch durch eine abgeschwächte Definition chiraler Symmetrie auf dem Gitter umgehen,

$\{D,\gamma_5\}aR \to a\frac{1}{2}(D\gamma_5R+R\gamma_5D)$,

wobei R ein lokaler Gitteroperator ist. Das Verhalten ~ a führt zu einer effektiven Glättung des störenden Terms ~ 4/a des Wilson'schen Funktionals.

Durch diese Ersetzung erhält man den sogenannten Overlapoperator, und aus der Wilson-Gleichung entsteht die Ginzparg-Wilson-Gleichung. Neben exakten Lösungen gibt es auch eine Reihe gebräuchlicher Fermionen, deren Diracoperator die Ginsparg-Wilson-Gleichung nur näherungsweise erfüllt. Die bekanntesten sind die Domain-Wall-Fermionen^[5][6], die (im Falle unendlicher Ausdehnung einer fünften Dimension) dem Overlapoperator entsprechen. In praktischen Simulationen bleibt diese Dimension jedoch stets endlich.

Alternative Formulierungen

Die zuvor genannten Diskretisierungen stellen die am häufigsten verwendeten Methoden dar, Fermionen auf dem Gitter zu behandeln. Daneben gibt es weitere, wie etwa die Fermionen mit minimaler Dopplung (minimally doubled fermions), die über eine Modifizierung der Gittergeometrie eine Minimierung des Dopplerproblems erreichen.^[7][8][9] Eine weitere Variante ist die Brechung der Translationsinvarianz durch die Einführung einer zusätzlichen Dimension, wie es bei den Domain-Wall-Fermionen geschieht.

Zusammenhang von physikalischen Größen mit Simulationsparametern

In einer Gitter-QCD Simulation kann man eine Reihe von Parametern einstellen: die Anzahl der Gitterpunkte in räumliche und zeitliche Richtung, die Gitterkopplung β und ggfs. Quarkmassenparameter und Parameter die zur theoretischen Verbesserung des Kontinuumsverhaltens führen. Um ein solches "Setup" aus dimensionslosen Zahlenangaben in physikalische Einheiten zu übersetzen, d. h. um dimensionsbehaftete Größen, wie den Gitterabstand (in fm) oder Hadronmassen (in MeV/c²) zu erhalten, müssen ausgewählte physikalische Objekte (wie die Masse oder Zerfallskonstante des Pions) zur Setzung der Skala fixiert werden. Alle weiteren berechneten Größen sind dann Vorhersagen der Gitter-QCD zu den gegebenen Parametern.

Dabei wächst die benötigte Computerleistung mit sinkender Masse, so dass das Erreichen physikalischer Quarkmassen ohne weitere Extrapolation nach wie vor einen enormen Aufwand bedeutet und nicht mit allen Fermiondiskretisierungen erreicht worden ist. Darüber hinaus gilt es, die systematischen Effekte, die durch die Extrapolation zu verschwindendem Gitterabstand und unendlichem Volumen bedingt sind, unter Kontrolle zu halten.

Die asymptotische Freiheit der QCD stellt mit ihrem Fixpunkt im Fluss der Kopplungskonstante sicher, dass der Kontinuumslimes $a\rightarrow0$ für verschwindende Kopplung ($g\rightarrow0$ bzw. $\beta\rightarrow \infty$) erreicht wird.

Entwicklung der Gitter-QCD

Als eigentliche Geburtsstunde der Gitter-QCD gilt heute die Veröffentlichung der Arbeit ^[10] des Physikers Kenneth Wilson im Jahre 1974, die sehr bald zum Kernbereich des damaligen Forschungsstandes zählte und eine rapide Entwicklung der Methode auslöste.^{[11][12][13][14]}

Die Methode der Gitter-QCD ist analog zu speziellen Spinmodellen, die 1971 in festkörpertheoretischem Zusammenhang von Franz Wegner aufgestellten wurden.^[15] Diese Gitter-Spinmodelle zeichnen sich, wie in der QCD, durch eine lokale Eichinvarianz und durch einen zur Eichfeldenergie analogen Term aus. Heutzutage ist jedoch der festkörpertheoretische Zusammenhang der Theorie weitgehend vergessen (siehe aber die Arbeit ^[11] von J. Kogut).

Obwohl die Quantenchromodynamik ein Hauptanwendungsgebiet der Gittereichtheorie ist, gibt es selbst in der Hochenergiephysik Untersuchungen mit Gittermethoden, die über die QCD hinaus gehen, z. B. zum Higgs-Mechanismus.^[16]

Für die QCD selbst hat sich u. a. ein an der Universität Regensburg zentrierter größerer Verbund gebildet, der Aktivitäten vieler in Deutschland (und Norditalien) führender Forschungsplätze bündelt und mit einem speziellen Hochleistungsrechner, QPACE, auf vorhandene Erfahrungen (siehe QCDOC in der englischen Wikipedia) und ein zukunftweisendes Konzept zurückgreifen kann. ^[17]

Ausgewählte Ergebnisse

Darstellung eines Mesons in einer Gitter-QCD Simulation. (Aus M. Cardoso et al. ^[18])

Ein Vorteil von Simulationen von Gittereichtheorien ist, dass vor allem  eichinvariante Größen  zugänglich sind. Dies führte zu einer Berechnung aller Meson- und Baryon- Grundzustände, die Up-, Down- oder Strange-Quarks enthalten. ^[19] Ein typisches Resultat (siehe die Grafik) zeigt, dass in einem Meson nicht nur die Teilchen, Quarks und Antiquarks, sondern auch die „Flussschläuche“ der Gluonen-Felder wichtig sind.

Mit solchen Rechnungen lassen sich auch  kollektive Effekte  studieren, die mit dem Confinement-Phänomen in Zusammenhang stehen könnten. Dies können z.B. topologische Anregungen sein, wie zum Beispiel Instantonen^[20] , Monopole ^[21] und Solitonen, oder Perkolationseffekte des Zentrums der Eichgruppe^[22]. Diese und andere Arbeiten werden teilweise von der Deutschen Forschungsgemeinschaft und/oder der EU durch überregionale Fördermittel unterstützt.

Es lassen sich auch Berechnungen der QCD bei hohen Temperaturen durchführen um den  Übergang in das Quark-Gluon-Plasma  zu studieren^[23], der in Experimenten an Teilchenbeschleunigern^[24] oberhalb von etwa 1,2x10¹² Kelvin gemessen wurde.

Literatur

• Istvan Montvay und Gernot Münster: Quantum Fields on a Lattice Cambridge University Press, Cambridge 1994, ISBN 0-521-40432-0.
• Heinz J. Rothe: Lattice Gauge Theories: An Introduction World Scientific Lecture Notes in Physics, 4. Auflage, 2012, ISBN 978-9814365857.
• Thomas DeGrand und Carleton DeTar: Lattice Methods for Quantum Chromodynamics, World Scientific Publishing, Singapur 2006, ISBN 981-256-727-5.
• Christof Gattringer und Christian B. Lang: Quantum chromodynamics on the lattice, Lect. Notes Phys. 788, 2010, ISBN 978-3-642-01849-7.

Einzelnachweise

1. ↑ Die Definition der Plakettenvariablen ist analog zu der beim klassischen Satz von Stokes.
2. ↑ J. Kogut, L. Susskind: Hamiltonian Formulation of Wilson's Lattice Gauge Theories, Phys. Rev. D11 (1975) 395.
3. ↑ vgl. z. B. M. Creutz: "Why rooting fails", PoS(Lat2007)007. [arXiv:0708.1295].
4. ↑ Zur Definition der Operatoren der Dirac-Theorie: siehe auch diverse Seminar-Ausarbeitungen, zum Beispiel [1] .
5. ↑ D.B. Kaplan, Phys. Lett. B288 (1992) 342.
6. ↑ Y. Shamir, Chiral fermions from lattice boundaries, Nucl. Phys. B406 (1993) 90.
7. ↑ L. Karsten: Lattice Fermions in Euclidian Space-Time, Phys. Lett. B104 (1981) 315.
8. ↑ F. Wilczek: On Lattice Fermions, Phys. Rev. Lett. 59 (1987) 2397.
9. ↑ M. Creutz: Four-dimensional graphene and chiral fermions, JHEP 04 (2008) 017. [arXiv:0712.1201].
10. ↑ Kenneth Wilson, Confinement of quarks. In: Physical Review D. Band 10, 1974, S. 2445–2459.
11. ↑ ^{a b} John Kogut: Introduction to lattice gauge theory and spin systems, Reviews of Modern Physics, Bd. 51 (1979), S. 659–713.
12. ↑ John Kogut: The lattice gauge theory approach to quantum chromodynamics, Rev. Mod. Phys., Bd. 55 (1983), S. 775-836.
13. ↑ Kenneth Wilson: The Origins of lattice gauge theory, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 140 (2005), S. 3-19. [arXiv:hep-lat/0412043]
14. ↑ Interessant ist hierbei, dass Kenneth Wilsons Arbeiten zur Renormierungsgruppe, für die er den Nobelpreis erhielt, ebenfalls in festkörpertheoretischem Zusammenhang entstanden (siehe den angegebenen Artikel zur Person).
15. ↑ F. Wegner, Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter, J. Math. Phys. 12 (1971) 2259-2272. Reprinted in Claudio Rebbi (ed.), Lattice Gauge Theories and Monte Carlo Simulations, World Scientific, Singapore (1983), p. 60-73.
16. ↑ E. Fradkin und S.H. Shenker: Phase diagrams of lattice gauge theories with Higgs fields, Phys. Rev. D 19, 3682-3697 (1979) .
17. ↑ Zu QPACE siehe die folgende Kurzfilm-Darstellung: [2] , 23 MBytes
18. ↑ M. Cardoso et al., Lattice QCD computation of the colour fields for the static hybrid quark-gluon-antiquark system, and microscopic study of the Casimir scaling, Phys. Rev. D 81, 034504 (2010), [3]).
19. ↑ S. Dürr et al., Ab initio determination of light hadron masses, Science 322, 5905 (2008) ).
20. ↑ C. Gattringer, M. Göckeler, P.E.L. Rakow, S. Schaefer und A. Schäfer, A comprehensive picture of topological excitations in finite-temperature lattice QCD, Nucl. Phys. B 618, 105 (2001) ).
21. ↑ J.M. Carmonaa, M. D’Eliab, L. Del Debbioc,d, A. Di Giacomoc, B. Lucinie, G. Paffuti Color confinement and dual superconductivity in full QCD, Phys. Rev. D 66, 011503 (2002)
22. ↑ Center clusters and their percolation properties in Lattice QCD, von J. Danzer, C. Gattringer, S. Borsanyi, and Z. Fodor,   [4],  Lattice 2010
23. ↑ Zu den Gitter-Rechnungen: siehe F. Karsch, The Phase Transition to the Quark-Gluon Plasma: Recent Results from Lattice-QCD, 1995, [5]
24. ↑ Zu den Experimenten: Pressemitteilung des BNL über die Erzeugung des Quark-Gluon-Plasmas (engl.), 2005, [6]