Gleichförmige Kreisbewegung


Gleichförmige Kreisbewegung

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung verläuft die Bahnkurve kreisförmig, wobei die Bahngeschwindigkeit einen konstanten Wert aufweist und stellt eine Form der Rotation dar. Im Gegensatz zur gleichförmigen Bewegung bleibt der Geschwindigkeitsvektor somit nicht konstant, da dessen Richtung sich ständig ändert. Die Betrachtung solch grundlegender Bewegungsabläufe hilft bei der Interpretation und Charakterisierung komplexer Abläufe im Bereich der Kinematik und Dynamik.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Grafische Analyse des Geschwindigkeitsvektors bei der Kreisbewegung
Grafische Analyse des Beschleunigungsvektors bei der Kreisbewegung

Eine Kreisbahn definiert sich als geschlossene Bahnkurve in einer Ebene mit konstantem Abstand zu einem Mittelpunkt. Die Wegstrecke stellt die Bogenlänge dar und ergibt sich aus dem Winkel und dem Radius.

s(t) = R \cdot \varphi(t)

Eine Bewegung auf der Kreisbahn lässt sich somit allein durch die Änderungsrate des Winkels, der Winkelgeschwindigkeit, beschreiben und bleibt im Fall der gleichmäßigen Kreisbewegung konstant.

\frac{\mathrm d \varphi}{\mathrm d t} = \omega = \text{konst.}

Somit ergibt sich der Betrag der Geschwindigkeit zu:

v = \frac{\mathrm d s}{\mathrm dt} = R \cdot \frac{\mathrm d \varphi}{\mathrm d t} =
    R \cdot \omega = \text{konst.}.

Da eine geschlossene Bahnkurve vorliegt kehrt die Bewegung stets zum selben Punkt zurück, wobei der dafür benötigte Zeitintervall die Bezeichnung Umlaufdauer trägt.

\varphi = \omega t \ \overset{\varphi = 2 \pi} \Rightarrow \ T = \frac{2\pi}{\omega}

Vektorielle Betrachtung

Die grafische Analyse des Geschwindigkeitsvektors mit Ansätzen aus der Infinitesimalrechnung, legt den Schluss nahe, das er stets senkrecht auf dem Ortsvektor steht. Der resultierende Vektor zeigt in Drehrichtung.

{\vec v} = \underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta {\vec r}}{\Delta t} \Rightarrow \vec r \perp \vec v

Anhand der vektoriellen Betrachtung lässt sich auch die erforderliche Beschleunigung für eine Richtungsänderung ohne Betragsänderung der Geschwindigkeit ermitteln. Analog dem Vorgehen bei der Betrachtung des Geschwindigkeitsvektors erfolgt die Herleitung der Beschleunigung, nur das zusätzlich eine Vektorverschiebung stattfindet. Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor und zeigt zum Kreismittelpunkt.

{\vec a} = \underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta {\vec v}}{\Delta t} \Rightarrow \vec v \perp \vec a

Die Richtung der Beschleunigung ist damit geklärt nicht jedoch der Betrag. Hierbei hilft die Kleinwinkelnäherung, bei der die Bogenlänge zwischen den gleich langen Geschwindigkeitsvektoren zunehmend dem direkten Abstand zwischen den Vektorspitzen entspricht. Da sich die Winkeländerung der Kreisbewegung auch in den Geschwindigkeitsvektoren widerspiegelt, kann folgende Gleichsetzung der Grenzübergänge erfolgen:

|{\vec a}| = \underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{|\Delta {\vec v}|}{\Delta t} =
    v \cdot \underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta {\varphi}}{\Delta t} = v \cdot \omega = R \cdot \omega^2
    .

Da der Beschleunigungsvektor immer Richtung Kreismittelpunkt zeigt trägt er die Bezeichnung Zentripetalbeschleunigung und in Verbindung mit der Masse gilt gleiches für die Zentripetalkraft.

Siehe auch

Literatur

  • Lehmann, Schmidt: Abitur-Training / Physik / Kinematik, Dynamik, Energie / Berufliche Oberschule / Technik. 1. Auflage. Stark Verlagsgesellschaft, 2001, ISBN 9783894491765.
  • Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer: Physik für Ingenieure. 8. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3540429646.

Weblinks


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