Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit (mindestens) zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.

Berechnung und Konstruktion

Formeln des gleichschenkligen Dreiecks

Links ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck

Seitenlängen	$a = b \ne c$
Winkel	$\alpha = \beta, \,\gamma = 180^\circ -2 \alpha$
Flächeninhalt	$A \, = \, \frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}}$ oder $A \, = \, \frac{1}{2}\,c\cdot h_c$
Umfang	$u \, = \, 2 \cdot a + c$

Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüber liegen, gleich groß sind.

Zwei Seiten

Im gleichschenkligen Dreieck ist durch zwei unterschiedlich lange Seiten sofort die dritte mitbestimmt, wenn man weiß, welche der Seiten die Basis ist. Dadurch ergibt sich ein SSS-Fall.

Eine Seite und ein Winkel

Ist ein Winkel gegeben, so lassen sich aus der Beziehung

$\textstyle 2\alpha+\gamma=180^\circ$

sofort alle übrigen Winkel berechnen. Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln. Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten des Dreiecks (also die zwei Schenkel eines Winkels) gleich lang. Die dritte Seite wird Basis genannt. Die Winkel, die die Basis als einen Schenkel besitzen, heißen daher Basiswinkel. Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß:

$\textstyle \alpha = \beta$.

Ausgezeichnete Punkte

Im gleichschenkligen Dreieck sind Höhe, Mittelsenkrechte (Streckensymmetrale), Seitenhalbierende (Schwerlinie) und Winkelhalbierende (Winkelsymmetrale) der nicht gleich langen Seite c identisch mit der Symmetrieachse. Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse.

In einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, stimmt die eulersche Gerade mit der Symmetrieachse überein.

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Siehe auch

• Gleichseitiges Dreieck
• Unregelmäßiges Dreieck
• Rechtwinkliges Dreieck

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Isosceles Triangle. In: MathWorld. (englisch)