Gradientenfeld

Ein Gradientenfeld ist ein aus einem Skalarfeld durch Differentiation nach dem Ort abgeleitetes Vektorfeld bzw. – kürzer formuliert – der Gradient eines Skalarfelds.

Zur besseren Abgrenzung zwischen dem Gradienten als mathematischem Operator und dem Resultat seiner Anwendung bezeichnen manche Autoren die Vektoren, aus denen sich Gradientenfelder zusammensetzen, auch als Gradientvektoren ^[1], andere dagegen mit Blick auf die Potentiale, aus denen sie sich herleiten, als Potentialvektoren ^[2].

Analog verwendet die überwiegende Zahl der Autoren den Begriff Potentialfeld nicht für das skalare Feld des Potentials selbst, sondern das sich aus ihm ableitende Gradientenfeld ^[3][4].

Definition und Eigenschaften

Ein Vektorfeld $\vec F:\vec r \mapsto \vec F(\vec r)$ ist genau dann ein Gradientenfeld, wenn es zu ihm ein Skalarfeld $\Phi:\vec r \mapsto \Phi(\vec r)$ gibt, so dass gilt:

$\vec F(\vec r) = \vec \nabla \Phi(\vec r)$

$\Phi\$ wird dabei oft das zugehörige „Skalarpotential“ oder auch einfach nur „Potential“ des Gradientenfelds $\vec F$ genannt, nicht zu verwechseln mit dem physikalischen Begriff des „Potentials“, mit dem dort die Fähigkeit eines konservativen Kraftfelds bezeichnet wird, einen dem Feld ausgesetzten Körper eine Arbeit verrichten zu lassen.

Physikalische Potentiale sind dabei, wenn damit die entsprechenden Ortsfunktionen (Felder) und nicht nur deren Funktionswerte gemeint sind, stets auch Potentiale im Sinne der Mathematik, während umgekehrt nicht jedes mathematische Potential, etwa das der potentiellen Energie^[5] oder das Geschwindigkeitspotential, auch eines im og. physikalischen Sinn ist.

Vektorfelder, die Gradienten eines Skalarfelds sind, werden in Anlehnung an den Begriff des „konservativen Kraftfelds“ oft auch als „konservative“ Vektorfelder^[2] bezeichnet - ihnen allen gemeinsam sind dabei die folgenden drei einander äquivalenten Eigenschaften:

1. Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals: Der Wert des Kurvenintegrals entlang einer beliebigen Kurve S innerhalb des Feldes ist nur von ihrem Anfangs- und Endpunkt abhängig, nicht dagegen von ihrer Länge.
2. Verschwinden des Ringintegrals für beliebige Randkurven S:
   $\oint_S \operatorname{grad}\,\Phi(\vec r)\,\mathrm d \vec r = \oint_S \vec F(\vec r)\,\mathrm d \vec r = 0$
3. Generelle Rotationsfreiheit bzw. Wirbelfreiheit^[2] des Feldes:
   $\operatorname {rot}\,(\operatorname{grad}\,\Phi(\vec r)) = \operatorname {rot}\,\vec F(\vec r) = \vec \nabla \times \vec F(\vec r) = \vec 0$

Beispiele

Beispiele von Potential- und Gradientenfeldern in der Physik
Skalarfelder (Potentialfelder) (gelb):
V_G - Gravitationspotential
W_pot - potentielle Energie
V_C - Coulomb-Potential
Vektorfelder (Gradientenfelder) (cyan):
a_G - Gravitationsbeschleunigung
F - Kraft
E - elektrische Feldstärke

Leitet man das Feld der potentiellen Energie $W_{pot}(\vec r)$, wie in der nebenstehenden Abb. gezeigt, nach dem Ort $\vec r$ ab ^[1] ab, erhält man den Energiegradienten $\vec \nabla W_{pot}(\vec r)$, also ein Vektorfeld, dessen einzelne Vektoren dabei in die Richtung der jeweils stärksten Zunahme von $W_{pot}(\vec r)$ an der Stelle $\vec r$ zeigen. Dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend, sind die diesem Gradienten entgegengesetzten Vektoren $-\vec \nabla W_{pot}(\vec r)$ nichts anderes als die jeweils in Richtung des steilsten Gefälles von $W_{pot}(\vec r)$ zeigenden „rücktreibenden“ Kräfte F_G (Gravitationskraft) und F_C (Coulombkraft)

$\vec F_G = -\vec \nabla W_{pot}(\vec r) \quad \text {bzw.} \quad \vec F_C = -\vec \nabla W_{pot}(\vec r)$.

Division des Energiegradienten $\vec \nabla W_{pot}(\vec r)$ durch die Skalare m bzw. q liefert analog die Potentialgradienten $\vec \nabla V_G(\vec r)$ (Gravitationspotential) und $\vec \nabla V_C(\vec r)$ (Coulomb-Potential), deren einzelne Vektoren dabei abermals in Richtung der jeweils stärksten Zunahme des Potentials an der Stelle $\vec r$ zeigen, so für die ihnen entgegengesetzte Vektoren a_G (Gravitationsbeschleunigung) und E (elektrische Feldstärke)gilt:

$\vec a_G = -\vec \nabla V_{G}(\vec r) \quad \text {bzw.} \quad \vec E = -\vec \nabla V_{C}(\vec r)$.

Vorzeichen

Handelt es sich bei dem zugrundeliegenden Skalarpotential auch um ein Potential im physikalischen Sinne (s.o.), beschreibt es also ein tatsächliches physikalisches Arbeitsvermögen, wird das sich aus ihm ergebende Gradientenfeld, wie gerade begründet, stets mit einem (der Zunahme des Betrags von $\vec r$ entgegengesetzten) negativem Vorzeichen geschrieben. Bei Skalarfeldern dagegen, die sich nur mathematisch wie Potentiale verhalten, etwa dem Strömungs- oder Geschwindigkeitspotential, das damit auch keine potentielle Energie repräsentiert, ist das Vorzeichen seines Gradienten undefiniert und wird für gewöhnlich positiv gewählt:

Kraft - Potentielle Energie: $\quad \vec F(\vec r) = -\vec \nabla W_{pot}(\vec r)$

Elektrische Feldstärke - Coulomb-Potential: $\vec E(\vec r) = -\vec \nabla V_{C}(\vec r)$

Gravitationsbeschleunigung - Gravitationspotential: $\vec a_G(\vec r) = -\vec \nabla V_{G}(\vec r)$

aber

Geschwindigkeit - Geschwindigkeitspotential: $\vec v(\vec r) = +\vec \nabla\Phi(\vec r)$

Integrabilitätsbedingung

Ist $U \subseteq \mathbb{R}^n$ eine offene und einfach zusammenhängende (zum Beispiel sternförmige) Menge und $\vec F\colon U \to \mathbb{R}^n$ stetig differenzierbar, so ist $\vec F$ genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung

$\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(x) = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} (x) \quad \forall\, i,j \in \{1 \dots n \}$

auf U erfüllt ist.

Im Zwei- und Dreidimensionalen lautet die Integrabilitätsbedingung:

• Für $\mathbb{R}^2$: $\frac{\partial F_1}{\partial x_2} = \frac{\partial F_2}{\partial x_1}$
• Für $\mathbb{R}^3$ zusätzlich: $\frac{\partial F_1}{\partial x_3} = \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \wedge \frac{\partial F_2}{\partial x_3} = \frac{\partial F_3}{\partial x_2}$ ^[6]
  Äquivalent dazu ist in beiden Fällen die Bedingung $\operatorname{rot}\,\vec F= \vec 0$.

Auf Gebieten, die nicht einfach zusammenhängend sind, ist die Integrabilitätsbedingung zwar notwendig, aber im Allgemeinen nicht hinreichend.

Siehe auch

• Konservative Kraft
• Gradient (Mathematik)

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 579.
2. ↑ ^{a b c} W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 547.
3. ↑ §4 Potentialfelder. In: Mathematik für Ingenieure III. WS 2009/2010, Universität Kiel.
4. ↑ Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. Springer, Berlin/Heidelberg, S. 322.
5. ↑ W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 742.
6. ↑ K. Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, 2004, ISBN 3-540-20389-3, Korollar S. 193.