Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren aus einem Prähilbertraum, d. h. einem Vektorraum mit Skalarprodukt, ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren dar: statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Verwendet man ein System von Basisvektoren als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis.

Die beiden Verfahren sind nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin Louis Cauchy verwendet.

Für die numerische Berechnung durch einen Computer sind die Gram-Schmidt-Verfahren nicht geeignet. Durch akkumulierte Rundungsfehler sind die berechneten Vektoren nicht mehr orthogonal. Es existieren aber Modifikationen des Verfahrens, die diesen Fehler nicht haben. Weitere Möglichkeiten für Orthogonalisierungsverfahren basieren auf Householdertransformationen oder Givens-Rotationen.

Vorbemerkung

Im Folgenden werden Elemente des betrachteten Vektorraums (Vektoren) mit einfachen lateinischen Buchstaben wie v und w bezeichnet, gegebenenfalls mit Indizes wie v_i und w₂. Es wird sowohl auf übergesetzte Pfeile als auch auf Fettdruck verzichtet. Das Skalarprodukt wird durch spitze Klammern dargestellt: $\langle v, w \rangle$. Im komplexen Fall wird dabei die Konvention verwendet, dass das Skalarprodukt im ersten Argument semilinear, im zweiten Argument linear ist, das heißt

$\langle \lambda v, w \rangle = \overline \lambda \langle v, w \rangle,\quad \langle v, \lambda w \rangle = \lambda \langle v, w \rangle$

für alle Vektoren v, w und alle $\lambda \in \C$. Im komplexen Fall kommt es deshalb bei den unten dargestellten Formeln auf die Reihenfolge der Faktoren im Skalarprodukt an, im reellen Fall jedoch nicht.

Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren $w_1, \dots, w_n$ ein Orthogonalsystem von n paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt.

Die einzelnen Vektoren $v_1, \dots, v_n$ des Orthogonalsystems berechnen sich wie folgt:

$v_1 = w_1\,$

$v_2 = w_2 - \frac{\langle v_1, w_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1$

$v_3 = w_3 - \frac{\langle v_1, w_3\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, w_3\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2$

$\vdots$

$v_n = w_n - \frac{\langle v_1, w_n\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, w_n\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2 - \dots - \frac{\langle v_{n-1}, w_n\rangle}{\langle v_{n-1}, v_{n-1}\rangle} \, v_{n-1} = w_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\langle v_i, w_n\rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i$

Beispiel

Im $\mathbb{R}^3$ versehen mit dem Standardskalarprodukt $\langle\cdot,\cdot \rangle$ seien zwei linear unabhängige Vektoren vorgegeben, die einen Untervektorraum erzeugen:

$w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Es werden nun zwei orthogonale Vektoren v₁ und v₂ berechnet, die denselben Untervektorraum erzeugen:

$v_1 = w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$v_2 = w_2 - \frac{\langle v_1, w_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{12}{14} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}$

Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren $w_1, \dots, w_n$ ein Orthonormalsystem von n normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt.

Die einzelnen Vektoren $v_1, \dots, v_n$ des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird:

$v_1 = \frac{w_1}{\left\|w_1\right\|}$ (Normalisieren des ersten Vektors w₁)

$v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1$ (Orthogonalisieren des zweiten Vektors w₂)

$v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|}$ (Normalisieren des Vektors $v_2^\prime$)

$v_3^\prime = w_3 - \langle v_1, w_3 \rangle \cdot v_1 - \langle v_2, w_3 \rangle \cdot v_2$ (Orthogonalisieren des dritten Vektors w₃)

$v_3 = \frac{v_3^\prime}{\left\|v_3^\prime\right\|}$ (Normalisieren des Vektors $v_3^\prime$)

$\vdots$

$v_n^\prime = w_n - \sum_{i=1}^{n-1} \langle v_i, w_n \rangle \cdot v_i$ (Orthogonalisieren des n-ten Vektors w_n)

$v_n = \frac{v_n^\prime}{\left\|v_n^\prime\right\|}$ (Normalisieren des Vektors $v_n^\prime$)

Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im $\R^3$ muss z.B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten.

Beispiel

Im $\mathbb{R}^2$ versehen mit dem Standardskalarprodukt $\langle\cdot,\cdot \rangle$ seien zwei Basisvektoren gegeben:

$w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Es werden nun zwei Vektoren v₁ und v₂ berechnet, die eine Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^2$ bilden.

$v_1 = \frac {w_1} {\left\|w_1\right\|} = \frac {1} {\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

$v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \sqrt{\frac{25}{40}} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Anmerkungen

Eine besondere Eigenschaft der beiden Verfahren ist, dass nach jedem Zwischenschritt die bisher berechneten Vektoren $v_1, \dots, v_i$ den gleichen Vektorraum erzeugen wie die Vektoren $w_1, \dots, w_i$. Die Vektoren $v_1, \dots, v_i$ bilden also eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis der entsprechenden Untervektorräume. Anders ausgedrückt ist die Transformationsmatrix, die die Koordinaten des einen Systems im anderen ausdrückt, eine rechtsobere Dreiecksmatrix. Fasst man die orthonormalen Vektoren $v_1, \dots, v_n$ als Spalten einer Matrix Q zusammen, ebenso die Vektoren des Ausgangssystems $w_1, \dots, w_n$ zu einer Matrix A, so gibt es eine Dreiecksmatrix R mit A=QR, es wird also eine QR-Zerlegung bestimmt. Dementsprechend kann das Ergebnis der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung auch mit anderen Methoden zur QR-Zerlegung bestimmt werden, die mit Givens-Rotationen oder Householder-Spiegelungen arbeiten.

Berechnet man ein Orthonormalsystem von Hand, ist es oftmals einfacher, zunächst ein Orthogonalsystem auszurechnen und dann die einzelnen Vektoren zu normieren. Dadurch erspart man sich das zweifache Normieren und kann oftmals mit einfacheren Werten rechnen. Gegebenenfalls lohnt es sich, vor dem Erstellen des Orthogonalsystems/Orthonormalsystems das Gaußsche Eliminationsverfahren durchzuführen.

Funktionsprinzip der Verfahren

Sind die orthogonalen Vektoren $v_1, \ldots, v_{k-1}$ bereits bestimmt, versuchen wir, von w_k eine passende Linearkombination der Vektoren $v_1, \ldots, v_{k-1}$ abzuziehen, sodass der Differenzvektor

$v_k = w_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i$

zu allen Vektoren $v_1, \ldots, v_{k-1}$ orthogonal wird. Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Skalarprodukt $\langle v_j,v_k \rangle$ für alle $j=1,\ldots,k-1$ den Wert 0 ergibt. Eine solche Linearkombination ergibt sich, wenn für jedes i der Ausdruck

$\lambda_i = \frac {\langle v_i,w_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle}$

gewählt wird. Eine Kontrollrechnung zeigt, dass dadurch alle Skalarprodukte $\langle v_j,v_k \rangle$ den Wert 0 annehmen:

$\begin{align}\langle v_k,v_j \rangle &= \left\langle v_j,w_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i \right\rangle\\ &= \langle v_j,w_k \rangle - \sum_{i=1}^{k-1} \frac {\langle v_i,w_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle} \langle v_j,v_i \rangle\\ &= \langle v_j,w_k \rangle - \langle v_j,w_k \rangle\\ &= 0\end{align}$

Literatur

• Andrzej Kielbasiński, Hubert Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Eine computerorientierte Einführung. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00194-0.

Weblinks

• Beispiel für das Orthonormalisierungsverfahren