Gronwall-Lemma

Die grönwallsche Ungleichung ist eine Ungleichung, die es erlaubt, aus der impliziten Information einer Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren ist sie ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von Differential- und Integralgleichungen. Sie ist nach Thomas Hakon Grönwall benannt, der sie im Jahr 1919 bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.

Formulierung

Gegeben seien ein Intervall $\ I := [a, b]$ sowie stetige Funktionen $u, \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}$ und $\beta: I \rightarrow [0, \infty)$. Weiter gelte die Integralungleichung

$u(t) \leq \alpha(t) + \int_a^t \beta(s)u(s){\rm d}s$

für alle $t \in I$. Dann gilt die grönwallsche Ungleichung

$u(t) \leq \alpha(t) + \int_a^t\alpha(s)\beta(s)e^{\int_s^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}{\rm d}s$

für alle $t\in I$.

Spezialfall

Im Fall konstanter Funktionen $\alpha \equiv A$ und $\beta \equiv B \geq 0$ lautet die grönwallsche Ungleichung

$u(t) \leq A + \int_a^tABe^{B(t-s)}{\rm d}s = Ae^{B(t-a)}\ .$

Anwendungen

Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme

Es sei $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$, $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{K}^n$, $(a, y_0) \in G$ und $F = F(x,y): G \rightarrow \mathbb{K}^n$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem $\ y' = F(x,y), y(a) = y_0$ höchstens eine Lösung $y \in C^1([a, b); \mathbb{K}^n)$.

Linear beschränkte Differentialgleichungen

Seien $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$, $G \subset [a,b) \times \mathbb{K}^n$, $(a,y_0) \in G$, $b < \infty$ und $F = F(x,y): G \rightarrow \mathbb{K}^n$ stetig. Weiter gebe es Funktionen $\alpha,\beta \in C([a,b); [0, \infty)) \cap L^1([a,b))$ derart, dass

$\|F(x,y)\| \leq \alpha(x) + \beta(x)\|y\|$

für alle $(x,y) \in G$. Dann gilt für jede Lösung y von

$y'=F(x,y)\ ,\ y(a) = y_0$

auf [a,b), dass y beschränkt ist.

Beweis

Es gilt

$\|y(x)\| \leq \|y_0\| + \int_a^x\|F(s,y(s))\|{\rm d}s \leq \|y_0\| + \int_a^x\alpha(s){\rm d}s + \int_a^x\beta(s)\|y(s)\|{\rm d}s\ .$

Die grönwallsche Ungleichung impliziert

$\|y(x)\| \leq \|y_0\| + \int_a^x\alpha(s){\rm d}s + \int_a^x\left(\|y_0\| + \int_a^s\alpha(\sigma){\rm d}\sigma\right)\beta(s)e^{\int_s^x\beta(\sigma){\rm d}\sigma}{\rm d}s\ .$

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Weblinks

• Beweis der grönwallschen Ungleichung im Beweisarchiv
• Anwendung der grönwallschen Ungleichung für den Eindeutigkeitssatz von Anfangswertproblemen bei lokal Lipschitz-stetiger Differentialgleichung
• Die grönwallsche Ungleichung auf planetmath.org

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.