Grundintegrale


Grundintegrale

Diese Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen (Integraltafel) gibt eine Übersicht über Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen, die in der Differential- und Integralrechnung benötigt werden.

Inhaltsverzeichnis

Tabelle einfacher Ableitungs- und Stammfunktionen (Grundintegrale)

Diese Tabelle ist zweispaltig aufgebaut. In der linken Spalte steht die Ableitung der Funktion in der rechten Spalte, umgekehrt ist die Funktion in der rechten Spalte eine Stammfunktion der Funktion in der linken Spalte.

Hinweis: Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist auch für jede Konstante C die Funktion F(x) + C eine Stammfunktion von f(x). Zum Beispiel ist auch F(x)=\frac{1}{2}x^2+5 eine Stammfunktion von f(x) = x. Die additive Konstante C wird aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht aufgeführt. Weiterhin gilt: Falls F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, so ist aufgrund der Linearität des Integrals a\cdot F(x) eine Stammfunktion von a\cdot f(x).

Potenz- und Wurzelfunktionen

Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
0\; C\;
k\;(k\in\R) kx\;
x^n\; \left\{\begin{matrix} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & \mbox{wenn }n\neq-1 \\ \ln \left| x \right| & \mbox{wenn } n=-1 \end{matrix}\right.
f'_{(x)} f_{(x)}^n\; \frac{1}{n+1}f_{(x)}^{n+1}\;
nx^{n-1} \, x^n,\quad n\neq0
x\; \tfrac12 x^2\;
2x\; x^2\;
x^2\; \tfrac13 x^3\;
\sqrt x\; \tfrac23 x^\tfrac32\;
3x^2\; x^3\;
\frac{1}{2 \sqrt{x}}\; \sqrt{x}\;
\frac{1}{n (\sqrt[n]{x})^{n-1}}\; \sqrt[n]{x}\;
-\frac{2}{x^3}\; \frac{1}{x^2}\;
-\frac{1}{x^2}\; \frac{1}{x}\;

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
e^x\; e^x\;
e^{kx}\; \frac{1}{k}e^{kx}\;
a^x\ln a\;(a>0) a^x\;
a^x\; \frac{a^x}{\ln a}\;
xx(1 + ln(x)) xx (x > 0)
e^{x \ln \left| x \right|}(\ln \left| x \right| + 1)\; \left| x \right|^x =  e^{x \ln \left| x \right|}
(x\neq 0)
\frac{1}{x}\; \ln \left| x \right| \;
\ln x\; x\ln x -x\;
u'(x) \ln u(x)\; u(x) \ln u(x) - u(x)\;
\frac{1}{x}\ln^{n}x \;\;(n\neq-1)\; \frac{1}{n+1}\ln^{n+1}x\;
\frac{1}{x}\ln{x^n} \;\; (n\neq0)\; \frac{1}{2n}\ln^2{x^n}\;
\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}\; \log_a x\;
\frac{1}{x\ln x}\; \ln\left| \ln x \right| \; für (x > 0, x ≠ 1)
\log_a x\; \frac{1}{\ln a}(x\ln x -x)\;
\sqrt{a^2 - x^2} \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a} \right)
\sqrt{a^2 + x^2} \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left(x + \sqrt{a^2 + x^2} \right)

Trigonometrische und Hyperbelfunktionen

Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
 \sin x\; -\cos x\;
\cos x\; \sin x\;
 \tan x\; -\ln|\cos x|\;
\cot x\; \ln|\sin x|\;
\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\; \tan x\;
\frac{-1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)\; \cot x\;
\arcsin x\; x\arcsin x +\sqrt {1-x^2}\;
\arccos x\; x\arccos x -\sqrt {1-x^2}\;
\arctan x\; x \arctan x -\tfrac12 \ln \left(1+x^2 \right)\;
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; \arcsin x\;
\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\; \arccos x\;
\frac {1} {x^2+1}\; \arctan x\;
\frac {x^2} {x^2+1}\; x - \arctan x\;
\frac {1} {(x^2+1)^2}\; \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan x\right)\;
\sinh x\; \cosh x\;
\cosh x\; \sinh x\;
\tanh x\; \ln \cosh x\;
\coth x\; \ln|\sinh x|\;
\frac{1}{\cosh^2 x} =1-\tanh^2 x\; \tanh x\;
\frac{-1}{\sinh^2 x} =1-\coth^2 x\; \coth x\;
\operatorname{arsinh}\;x\; x\;\operatorname{arsinh}\;x -\sqrt{x^2+1}\;
\operatorname{arcosh}\;x\; x\;\operatorname{arcosh}\;x -\sqrt{x^2-1}\;
\operatorname{artanh}\;x\; x\;\operatorname{artanh}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(1-x^2\right)}\;
\operatorname{arcoth}\;x\; x\;\operatorname{arcoth}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(x^2-1\right)}\;
\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}\; \operatorname{arsinh}\;x\;
\frac{1}{\sqrt {x^2-1}}\;,\;x>1 \operatorname{arcosh}\;x\;
\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|<1 \operatorname{artanh}\;x\;
\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|>1 \operatorname{arcoth}\;x\;
\sin^{2} k x\; \frac{x}2 - \frac{\sin(2 k x)}{4k}
\cos^{2} k x\; \frac{x}2 + \frac{\sin(2 k x)}{4k}

Sonstige

Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
e^{-x^2} \frac{\sqrt{\pi}}{2}\;\operatorname{Erf}\;x
e^{-a x^2 + b x + c} \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{a}}\;e^{\frac{b^2}{4 a} + c}\;\operatorname{Erf}\;\left(\sqrt{a}\;x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)
\frac {u'(x)} {u(x)} \ln \left| u(x) \right| \,
 u'(x) \cdot u(x)  \tfrac12 (u(x))^2

Rekursionsformeln für weitere Stammfunktionen

\int\frac{1}{(x^2+1)^n}\, \mathrm d x =
 \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}
 + \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\, \mathrm d x,\quad n\geq 2
\int\sin^n(x)d x =
\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} xdx -\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1} x,\quad n\geq 2
\int\cos^n(x)d x =
\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} xdx +\frac{1}{n}\sin x\cos^{n-1} x,\quad n\geq 2

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Ableitungs- und Stammfunktionen — Diese Tabelle von Ableitungs und Stammfunktionen (Integraltafel) gibt eine Übersicht über Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen, die in der Differential und Integralrechnung benötigt werden. Inhaltsverzeichnis 1 Tabelle einfacher Ableitungs… …   Deutsch Wikipedia

  • Ableitungstabelle — Diese Tabelle von Ableitungs und Stammfunktionen (Integraltafel) gibt eine Übersicht über Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen, die in der Differential und Integralrechnung benötigt werden. Inhaltsverzeichnis 1 Tabelle einfacher Ableitungs… …   Deutsch Wikipedia

  • Aufleitung — Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und… …   Deutsch Wikipedia

  • Integralfunktion — Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und… …   Deutsch Wikipedia

  • Integraltabelle — Diese Tabelle von Ableitungs und Stammfunktionen (Integraltafel) gibt eine Übersicht über Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen, die in der Differential und Integralrechnung benötigt werden. Inhaltsverzeichnis 1 Tabelle einfacher Ableitungs… …   Deutsch Wikipedia

  • Stammfunktionen — Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und… …   Deutsch Wikipedia

  • Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen — Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Ableitungs und Stammfunktionen. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Mathematische Symbole erläutert werden. Diese Tabelle von Ableitungs und Stammfunktionen (Integraltafel)… …   Deutsch Wikipedia

  • Unbestimmtes Integral — Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und… …   Deutsch Wikipedia

  • Stammfunktion — Eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral (außerhalb fachwissenschaftlicher Publikationen gelegentlich auch Aufleitung) ist eine mathematische Funktion, die man in der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis, untersucht.… …   Deutsch Wikipedia


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.