Hamilton-Funktion


Hamilton-Funktion

Die Hamilton-Funktion \mathcal H(t,q,p) (nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist seine Energie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen. Sie hängt von der Zeit t, den generalisierten Koordinaten q=(q_1,q_2\dots q_n) und den generalisierten Impulsen p=(p_1,p_2\dots p_n) ab.

Bei einem Teilchen der Masse m, das sich nichtrelativistisch in einem Potential V bewegt, setzt sie sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q)

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

E^2-\mathbf p^2\,c^2=m^2\,c^4

ist die Hamilton-Funktion

\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+ \mathbf p^2\,c^2}\,.

Wenn die Hamiltonfunktion wie in diesen Beispielen nicht von der Zeit abhängt, behält das System von Teilchen seine anfängliche Energie; sie ist dann eine Erhaltungsgröße.

Die Hamiltonfunktion ist die Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion \mathcal L(t,q,\dot q), die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten \dot q=(\dot q_1,\dot q_2\dots \dot q_n) abhängt:

\mathcal H(t,q,p)= \sum_{k=1}^n \dot q_k\, p_k - \mathcal L(t, q,\dot q)

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten  \dot q diejenigen Funktionen  \dot q(t,q,p) gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der Impulse

 p_k = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_k}

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Beispielsweise hängt beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

\mathcal L= - m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\mathbf q^2}/c^2}

der Impuls gemäß

\mathbf p=\frac{m \dot{\mathbf q}}{\sqrt{1-\dot{\mathbf q^2}/c^2}}

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

\dot{\mathbf q}=\frac{\mathbf p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}}

des Impulses.

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

\dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}\ ,\quad  \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k} \,.

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch sogenannte kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für \mathcal H(t,q,p) als Funktion von Operatoren q und p liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Siehe auch

Literatur

  • Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr ; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3 Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7 Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.

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