Hamiltonsche Bewegungsgleichungen


Hamiltonsche Bewegungsgleichungen

Die kanonischen Gleichungen sind in der klassischen Mechanik die Bewegungsgleichungen eines Systems, das durch eine Hamiltonfunktion H = H(q,p,t) beschrieben wird, und werden deshalb auch Hamiltonsche Bewegungsgleichungen genannt:

 \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \;\;\textrm{und}\;\; \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}

Sie folgen direkt aus dem Hamiltonschen Prinzip durch ein erweitertes Variationsprinzip, bei dem Koordinaten und Impulse gleichberechtigt behandelt werden. Die kanonischen Gleichungen sind eng mit den kanonischen Transformationen verknüpft, die über die Hamilton-Jacobi-Gleichung die Brücke zur Quantenmechanik schlagen. Ein erster Hinweis bietet die elegante Formulierung der kanonischen Gleichungen mit Poissonklammern:

 \dot{q}_i = \left\{q_i,H\right\} \;\;\textrm{und}\;\; \dot{p}_i = \left\{p_i,H\right\}

Für eine beliebige Phasenfunktion A = A(q,p,t) des Systems kann man die totale zeitliche Ableitung deshalb schreiben als

 \frac{d A}{dt} = \left\{A,H\right\} + \frac{\partial A}{\partial t}

In dieser Form sieht man sofort die Korrespondenz der klassischen Bewegungsgleichung einer Phasenfunktion mit der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für Observable.


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