Harmonische Funktion


Harmonische Funktion

In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei U \subseteq \mathbb{R}^n eine offene Teilmenge. Eine Funktion f : U \rightarrow \mathbb{R} heißt harmonisch in U, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle x \in U

Δf(x) = 0

gilt. Dabei bezeichnet \Delta = \tfrac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \tfrac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \tfrac{\partial^2}{\partial x_n^2} den Laplace-Operator.

Mittelwerteigenschaft

Die wichtige Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion f : U \rightarrow \mathbb{R} ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

f(x) = \frac{1}{r^{n-1} s_n} \int_{\partial B(x, r)} f(y) \mathrm{d} \sigma(y)

für alle Kugeln \ B(x, r) mit \overline{B}(x, r) \subset U. Hierbei bezeichnet \ s_n das Oberflächenmaß der n-dimensionalen Einheitssphäre.

Weitere Eigenschaften

Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

  • Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes U nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss \overline{U}, so werden Maximum und Minimum auf dem Rand \partial U angenommen.
  • Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
  • Abschätzung der Ableitungen: Sei f harmonisch in U. Dann gilt für die Ableitungen
    \left| D^\alpha f(x)\right| \leq \frac{\left(2^{n+1} n |\alpha|\right)^{|\alpha|}}{v_n} \left\|f\right\|_{L^1(B(x,r))},
    wobei vn das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
  • Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
  • Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} ist konstant.
  • Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge V \subset\subset U gibt es eine Konstante C \geq 0, die nur von dem Gebiet V abhängt, so dass für jede in U harmonische und nichtnegative Funktion f
    \sup_V f \leq C \inf_V f
    gilt.
  • Im Sonderfall n = 2 für ein einfach zusammenhängendes Gebiet U \subset \mathbb{R}^2 \cong \mathbb{C} können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
  • Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.

Beispiel

Die Grundlösung

S(x) := \left\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2\pi}\ln|x|\ ,&n=2\ ,\\
\frac{1}{(n-2)\omega_n}\frac{1}{\|x\|^{n-2}}\ ,&n \geq 3\ ,\\\end{array}\right.

ist eine auf \mathbb{R}^n\setminus\{0\} harmonische Funktion, worin ωn das Maß der Einheitssphäre im \mathbb{R}^n bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Literatur

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • harmonische Funktion — harmonische Funktion,   die Potenzialfunktion …   Universal-Lexikon

  • harmonische Funktion — harmoninė funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. harmonic function vok. harmonische Funktion, f rus. гармоническая функция, f pranc. fonction harmonique, f …   Automatikos terminų žodynas

  • harmonische Funktion — harmoninė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. harmonic function vok. harmonische Funktion, f rus. гармоническая функция, f pranc. fonction harmonique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • harmonische Schwingung — harmonische Schwingung,   die periodische Änderung einer physikalischen Größe um einen Mittelwert, deren Auslenkung x eine harmonische Funktion der Zeit t ist: x = a cos (ω …   Universal-Lexikon

  • Funktion (Mathematik) — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y… …   Deutsch Wikipedia

  • Harmonische — Obertöne auf einer Saite Eine Harmonische ist in der Akustik, der Quantenoptik und Technik ein ganzzahliges Vielfaches einer Grundfrequenz. Als Funktion der Zeit beschreibt die Harmonische einen rein sinusförmigen Verlauf. Harmonische spielen… …   Deutsch Wikipedia

  • harmonische Analyse — harmonische Analyse,   Fourier Analyse [fu rje ], mathematische Verfahren zur Zerlegung eines periodischen Vorgangs in seine Grundschwingungen (1. Harmonische) und deren Oberschwingungen (2., 3.,. .. Harmonische), z. B. eines Klanges in Grund und …   Universal-Lexikon

  • Harmonische Zahl — Die harmonische Reihe ist eine spezielle mathematische Reihe. Die harmonische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summen der ersten n Glieder (die Partialsummen) der harmonischen Folge sind. Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 1.1 Werte der ersten …   Deutsch Wikipedia

  • Harmonische Reihe — Die harmonische Reihe ist eine spezielle mathematische Reihe. Die harmonische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summen der ersten n Glieder (die Partialsummen) der harmonischen Folge sind. Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 1.1 Werte der ersten …   Deutsch Wikipedia

  • Harmonische Analyse — Die abstrakte harmonische Analyse ist die Theorie der lokalkompakten Gruppen. Der Name rührt daher, dass es auf beliebigen lokalkompakten Gruppen ein zum Lebesgue Maß auf den reellen Zahlen analoges Maß gibt, das sogenannte Haar Maß. Bezüglich… …   Deutsch Wikipedia