Harris-Kette

Eine Harris-Kette, benannt nach dem Mathematiker Ted Harris, ist eine spezielle Markow-Kette auf einem messbaren Zustandsraum. Harris-Ketten sind unter anderem interessant, da man für diese Ergodensätze formulieren kann.

Definition

Sei (Ω,Σ) ein messbarer Raum. Sei $(X_n)_{n \in \N}$ eine Markow-Kette auf (Ω,Σ) mit Markowkern π. Dann heißt $(X_n)_{n \in \N}$ Harris-Kette falls ein Ereignis $A \in \Sigma$, ein Wahrscheinlichkeitsmaß φ auf (Ω,Σ), eine reelle Zahl b mit 0 < b < 1 und eine natürliche Zahl $n_0 \in \N$ existieren, so dass gilt:

1. Für jedes Elementarereignis $x\in\Omega$ gilt $P_x(X_n \in A \mathrm{\ f\ddot ur\ ein\ } n \in\N) = 1$.
2. Für jedes $x\in A$, jedes Ereignis $B\in\Sigma$ gilt $P_x(X_{n_0} \in B) \geq b \cdot \varphi(B)$

Eigenschaften

Zu jeder Harriskette lässt sich eine identisch verteilte Harriskette finden, die fast sicher unendlich oft gemäß φ verteilt ist.